Exercice 14

Tracer un losange \(ABCD\) dont les diagonales mesurent 8 cm et 6 cm.

Réponse

Tracer les diagonales AC de 8 cm et BD de 6 cm perpendiculaires en leur milieu O, puis relier A–B–C–D. Chaque côté mesure alors 5 cm.

Corrigé détaillé

Rappel sur le losange

Un losange est un quadrilatère qui a : - quatre côtés de même longueur ; - des diagonales qui se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.

Construction pas à pas

Étape 1 : tracer la première diagonale

• Sur une feuille, tracez un segment [AC] de longueur \(8\,\mathrm{cm}\).
• Repérez son milieu et nommez-le O.

Étape 2 : tracer la deuxième diagonale

• À partir de O, tracez une perpendiculaire à [AC].
• Sur cette perpendiculaire, placez un point B à \(3\,\mathrm{cm}\) de O d’un côté et un point D à \(3\,\mathrm{cm}\) de l’autre. Ainsi, BD mesure \(6\,\mathrm{cm}\) et coupe AC en O.

Étape 3 : relier les points pour former le losange

• Reliez successivement A à B, B à C, C à D et D à A.
• Vous obtenez un quadrilatère ABCD dont les diagonales se coupent perpendiculairement en leur milieu, donc un losange.

Étape 4 : calculer la longueur d’un côté

• Regardons le triangle OAB :
  • Il est rectangle en O,
  • OB = \(3\,\mathrm{cm}\), OA = \(4\,\mathrm{cm}\).
• On reconnaît le triplet pythagoricien (3, 4, 5). Dans un tel triangle, l’hypoténuse (ici AB) mesure 5.
• Par symétrie, tous les côtés du losange mesurent \(5\,\mathrm{cm}\).

Conclusion

Le quadrilatère ABCD ainsi construit est un losange : - diagonales AC = \(8\,\mathrm{cm}\) et BD = \(6\,\mathrm{cm}\), - elles se coupent perpendiculairement en leur milieu O, - tous les côtés mesurent \(5\,\mathrm{cm}\).