Exercice 33
Construire deux cercles de centres \(O_1\) et \(O_2\) et de rayons 3 cm et 5 cm, tels que
la distance \(O_1O_2 = 6\) cm. Tracer
les tangentes communes extérieures à ces deux cercles.
Réponse
Les deux tangentes communes extérieures sont : \[
y=\frac{\sqrt{2}}{4}\,x+\frac{9\sqrt{2}}{4}
\quad\text{et}\quad
y=-\frac{\sqrt{2}}{4}\,x-\frac{9\sqrt{2}}{4}
\]
Corrigé détaillé
Mise en place de la
construction
- Soit le segment [O₁O₂] de longueur \(6\,\mathrm{cm}\).
- On place le cercle \(C_1\) de
centre \(O_1\) et de rayon \(r_1=3\,\mathrm{cm}\).
- On place le cercle \(C_2\) de
centre \(O_2\) et de rayon \(r_2=5\,\mathrm{cm}\).
1. Construction d’un cercle
auxiliaire
- Calculer la différence des rayons : \[
|r_2-r_1|=5-3=2\,\mathrm{cm}.
\]
- Tracer le cercle \(C_3\) de centre
\(O_2\) et de rayon \(2\,\mathrm{cm}\).
2. Construction des
tangentes de O₁ à C₃
Pour tracer les tangentes du point \(O_1\) au cercle \(C_3\) :
- Tracer le cercle de diamètre \([O_1O_2]\).
- Appeler \(T'_1\) et \(T'_2\) les points d’intersection de ce
cercle de diamètre avec \(C_3\).
- Relier \(O_1\) à \(T'_1\) et \(O_1\) à \(T'_2\). Ces deux droites sont tangentes
à \(C_3\).
3. Transfert de
la direction aux cercles C₁ et C₂
- Les droites \((O_1T'_1)\) et
\((O_1T'_2)\) donnent les
directions des tangentes recherchées aux cercles \(C_1\) et \(C_2\).
- Marquer les points \(U_1\) et \(U_2\) où ces directions rencontrent le
cercle \(C_1\).
- Par chaque point \(U_i\), tracer
une droite parallèle à \((O_1T'_i)\). Ces droites sont
tangentiales à \(C_1\) en \(U_i\).
4. Tangence sur C₂
- Chacune de ces droites, par construction, est également tangentielle
au cercle \(C_2\) car elles conservent
la même direction que les tangentes à \(C_3\) et respectent la différence de
rayon.
5. Vérification finale
- En chaque point de contact \(U_i\)
sur \(C_1\) et \(V_i\) sur \(C_2\), la droite est perpendiculaire au
rayon mené au point de tangence.
- On obtient ainsi exactement deux tangentes communes
extérieures aux cercles de centres \(O_1\) et \(O_2\), de rayons \(3\) et \(5\) cm, et de distance \(O_1O_2=6\) cm.