Exercice 11

Construire un triangle équilatéral de côté 6 cm.

Réponse

On obtient un triangle équilatéral \(ABC\) tel que \(AB = BC = CA = 6\,\mathrm{cm}\).

Corrigé détaillé

Contexte et objectif

L’objectif est de construire, à la règle et au compas, un triangle équilatéral de côté \(6\,\mathrm{cm}\), c’est-à-dire un triangle dont les trois côtés sont tous de même longueur. Par définition, un triangle équilatéral possède deux propriétés importantes :

1. Tous les côtés ont la même longueur.
2. Tous les angles mesurent \(60^\circ\).

Matériel nécessaire

• Une règle graduée
• Un compas
• Un crayon

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Étape 1 : Tracer le premier côté

1. Sur votre feuille, tracez un segment \([AB]\) de longueur \(6\,\mathrm{cm}\) à l’aide de la règle.
   • Points obtenus : A et B.

Étape 2 : Reporter la distance avec le compas

1. Placez la pointe sèche du compas en A et ouvrez-le pour que l’autre pointe passe par B (rayon = \(AB = 6\,\mathrm{cm}\)).
2. Tracez un arc de cercle centré en A.
3. Sans modifier l’ouverture du compas, placez-le ensuite en B et tracez un second arc de cercle.

Étape 3 : Déterminer le troisième sommet

1. Les deux arcs se coupent en un point C.
2. Choisissez l’intersection des arcs située du même côté du segment \([AB]\) pour former votre triangle.

Étape 4 : Compléter le triangle

1. Reliez C à A et C à B à l’aide de la règle.
2. Vous obtenez le triangle \(ABC\).

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Justification de la construction

• En traçant les arcs de cercles de rayon \(6\,\mathrm{cm}\) centrés en A et en B, tout point d’intersection est exactement à \(6\,\mathrm{cm}\) de A et de B.
• Le point C ainsi obtenu vérifie donc \(AC = AB = 6\,\mathrm{cm}\) et \(BC = AB = 6\,\mathrm{cm}\).
• Par définition, un triangle ayant ses trois côtés égaux est un triangle équilatéral.

Conclusion

Le triangle \(ABC\) ainsi construit est équilatéral de côté \(6\,\mathrm{cm}\).