Exercice 32

Tracer un triangle \(ABC\), puis construire le cercle circonscrit à ce triangle.

Réponse

Le cercle circonscrit est le cercle de centre \(O\) (intersection des médiatrices des côtés du triangle) passant par \(A, B, C\).

Corrigé détaillé

Construction du cercle circonscrit au triangle \(ABC\)

Étape 1 : Tracer le triangle \(ABC\)

On commence par placer trois points non alignés \(A\), \(B\) et \(C\) sur la feuille. On relie ensuite \(A\) à \(B\), \(B\) à \(C\) et \(C\) à \(A\) à l’aide de la règle pour obtenir le triangle \(ABC\).

Étape 2 : Tracer la médiatrice du segment \(AB\)

1. Ouvrir le compas sur une longueur supérieure à la moitié de \(AB\).
   
2. Avec la pointe sèche sur \(A\), tracer deux arcs de cercle de part et d’autre de \(AB\).
   
3. Sans modifier l’ouverture du compas, placer la pointe sèche sur \(B\) et tracer deux autres arcs qui croisent les premiers.
   
4. Les deux points d’intersection des arcs définissent une unique droite. À l’aide de la règle, tracer cette droite : c’est la médiatrice du segment \(AB\).

Étape 3 : Tracer la médiatrice du segment \(AC\)

Répéter la même procédure pour \(A\) et \(C\) :
1. Ouvrir le compas de la même façon qu’à l’étape 2.
2. Tracer deux arcs autour de \(A\) puis deux autour de \(C\).
3. Relier les points d’intersection des arcs pour obtenir la médiatrice de \(AC\).

Théorème utilisé

Les médiatrices des côtés d’un triangle sont concourantes en un point unique. Ce point est le centre du cercle circonscrit au triangle.

Étape 4 : Déterminer le centre \(O\)

Les deux médiatrices tracées se coupent en un point \(O\). Par le théorème, \(O\) est le centre du cercle circonscrit.

Étape 5 : Tracer le cercle circonscrit

1. Placer la pointe sèche du compas sur \(O\).
   
2. Ouvrir le compas jusqu’à l’un des sommets, par exemple \(A\) : cette ouverture est le rayon du cercle.
   
3. Dessiner le cercle complet. Il passe alors par \(A\), \(B\) et \(C\), montrant qu’il est bien circonscrit au triangle.

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Conclusion pédagogique : En construisant les médiatrices des côtés, on exploite la propriété fondamentale selon laquelle elles se rencontrent toutes en un même point \(O\), garantissant la construction rigoureuse du cercle qui passe exactement par les trois sommets du triangle.