Exercice 22

Tracer les trois hauteurs d’un triangle \(ABC\) quelconque. Que remarque-t-on ?

Réponse

Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point appelé orthocentre, noté \(H\).

Corrigé détaillé

Contexte et objectif

On considère un triangle quelconque \(\triangle ABC\). L’objectif est de tracer les trois hauteurs et d’observer leur point de rencontre.

Définitions clés

• Hauteur d’un triangle : dans un triangle, la hauteur issue d’un sommet est la droite passant par ce sommet et perpendiculaire au côté opposé.
• Orthocentre : point de concours des trois hauteurs d’un triangle.

Étape 1 : Tracer la hauteur issue de A

1. Sur le côté \([BC]\), place un point directeur pour la perpendiculaire.
2. Avec une équerre, trace la droite passant par \(A\) et perpendiculaire à \([BC]\). Cette droite est la hauteur issue de \(A\), que l’on note \(h_a\).

Étape 2 : Tracer la hauteur issue de B

1. Sur le côté \([AC]\), place un point pour guider la perpendiculaire.
2. Trace la droite passant par \(B\) et perpendiculaire à \([AC]\). C’est la hauteur \(h_b\).

Étape 3 : Tracer la hauteur issue de C

1. Sur le côté \([AB]\), place un point pour la perpendiculaire.
2. Trace la droite passant par \(C\) et perpendiculaire à \([AB]\). C’est la hauteur \(h_c\).

Étape 4 : Observation de la figure

• Les trois droites \(h_a\), \(h_b\) et \(h_c\) se coupent en un même point.
• Ce point de concours est appelé orthocentre et on le note habituellement \(H\).

Justification théorique

1. Dans le plan, deux droites non parallèles se rencontrent en un seul point.
   
2. Chaque paire de hauteurs est formée de droites non parallèles (puisqu’elles sont perpendiculaires à des côtés distincts).
   
3. La propriété géométrique fondamentale est : « Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes ».
   
4. Le point unique de leur intersection est l’orthocentre \(H\).

Conclusion

Quel que soit le triangle \(\triangle ABC\), les trois hauteurs se rejoignent toujours en un même point, l’orthocentre. Cette propriété est valable pour tous les types de triangles (aigu, obtus ou rectangle).