Exercice 13

Construire un angle de 90° sans utiliser de rapporteur (uniquement avec compas et règle).

Réponse

L’angle construit, noté \(\widehat{FAG}\), est droit : \(\widehat{FAG}=90^\circ\).

Corrigé détaillé

Contexte et objectif

L’objectif est de construire, à l’aide uniquement d’un compas et d’une règle non graduée, un angle droit (c’est-à-dire un angle de \(90^\circ\)). Nous allons utiliser le fait que la médiatrice d’un segment est perpendiculaire à ce segment et passe par son milieu.

Matériel

• Une règle non graduée (pour tracer des droites)
• Un compas (pour tracer des cercles et des arcs de cercle)

Étapes de la construction

Étape 1 : Tracer la droite de base

1. On trace une droite \(d\) et on y place un point \(A\).
2. Sur cette même droite, on choisit un point \(B\), distinct de \(A\). La droite \(AB\) sera l’un des côtés de l’angle droit que l’on souhaite construire.

Étape 2 : Tracer un cercle de centre \(A\)

1. Avec le compas, on fixe un rayon arbitraire \(r>0\).
2. On trace le cercle de centre \(A\) et de rayon \(r\). Ce cercle coupe la droite \(AB\) en deux points, que l’on appelle \(D\) et \(E\).

Étape 3 : Construire la médiatrice du segment \([DE]\)

1. Avec le même compas, on choisit un rayon \(r'\) supérieur à la moitié de \(DE\).
2. On trace deux arcs de cercle :
   • l’un de centre \(D\) et de rayon \(r'\),
   • l’autre de centre \(E\) et de rayon \(r'\).
3. Ces deux arcs se coupent en deux points que l’on nomme \(F\) et \(G\).
4. La droite \((FG)\) est alors la médiatrice du segment \([DE]\). Par définition de la médiatrice :
   • \((FG)\) passe par le milieu de \([DE]\), qui est le point \(A\) (puisque \(AD=AE=r\)).
   • \((FG)\) est perpendiculaire à \([DE]\).

Étape 4 : Définir l’angle droit

• La droite \((AB)\) est la droite d’origine du segment \([DE]\).
• La droite \((FG)\) passe par \(A\) et est perpendiculaire à \((AB)\).

Par conséquent, l’angle formé par \((AB)\) et \((AG)\) (ou \((AF)\)) est un angle droit. On le note \(\widehat{FAG}\).

Justification

• Par construction, \(A\) est le milieu du segment \([DE]\) (car \(AD=AE\)).
• La médiatrice de \([DE]\) est la droite perpendiculaire à \([DE]\) passant par son milieu.
• Comme \([DE]\) est sur la droite \((AB)\), la médiatrice \((FG)\) est perpendiculaire à \((AB)\) en \(A\).
• Un angle formé par deux droites perpendiculaires mesure \(90^\circ\).

Conclusion

La construction fournit l’angle \(\widehat{FAG}\) tel que \[ \widehat{FAG}=90^\circ \] ce qui répond exactement à la consigne de construire un angle droit avec compas et règle.