Exercice 28

Tracer les trois médiatrices d’un triangle \(ABC\) quelconque. Que remarque-t-on ? Quel cercle particulier peut-on alors tracer ?

Réponse

Les trois médiatrices sont concourantes en \(O\), le centre du cercle circonscrit ; on peut alors tracer le cercle circonscrit passant par \(A\), \(B\) et \(C\), de centre \(O\).

Corrigé détaillé

Construction des médiatrices

1. Choisir un côté du triangle, par exemple le segment \(AB\).
2. Avec un compas centré en \(A\), tracer deux arcs de cercle de même rayon de part et d’autre du segment.
3. Sans changer l’écartement du compas, faire de même depuis le point \(B\).
4. Les deux arcs tracés depuis \(A\) et ceux depuis \(B\) se coupent en deux points. Tracer la droite qui les relie : c’est la médiatrice du segment \(AB\).
5. Répéter ces étapes pour les côtés \(BC\) et \(CA\).

Propriété remarquable

• Chaque médiatrice est l’ensemble des points équidistants des extrémités du segment considéré. Par exemple, tout point \(M\) de la médiatrice de \(AB\) vérifie \(MA = MB\).
• Les trois médiatrices se coupent en un même point, noté \(O\). On appelle \(O\) le centre du cercle circonscrit.
• Par conséquent, on a simultanément :
  \[ OA = OB = OC. \]

Construction du cercle circonscrit

1. Placer la pointe sèche du compas en \(O\).
2. Ouvrir le compas jusqu’à l’un des sommets du triangle (par exemple \(A\)).
3. Tracer un cercle de centre \(O\) et de rayon \(OA\).

Ce cercle passe par \(A\), \(B\) et \(C\) grâce à l’égalité \(OA = OB = OC\). Il est appelé cercle circonscrit au triangle \(ABC\).