Exercice 31

Construire un triangle \(ABC\) tel que \(AB = 8\) cm, la médiane issue de \(A\) mesure 5 cm et \(AC = 7\) cm.

Réponse

BC =  

Corrigé détaillé

Énoncé

On cherche à construire un triangle ABC tel que : - AB = 8 cm - AC = 7 cm - la médiane issue de A (segment [AM] avec M milieu de [BC]) mesure 5 cm

1. Détermination de la longueur BC par le théorème d’Apollonius

Le théorème d’Apollonius relie la longueur d’un côté et la médiane issue du sommet opposé : > Dans un triangle ABC, la médiane AM vérifie : > \[2\,(AB^2 + AC^2) - BC^2 = 4\,AM^2.\] En remplaçant AB = 8, AC = 7 et AM = 5, on obtient une valeur pour BC. On calcule numériquement : - AB² + AC² = 8² + 7² = 64 + 49 = 113 - 2×(AB² + AC²) = 226 - 4×AM² = 4×25 = 100 - donc BC² = 226 − 100 = 126 On en déduit la longueur du côté BC (valeur approchée) : > BC ≈ 11,22 cm

2. Construction du triangle par la méthode SSS

On sait finalement les trois longueurs : - AB = 8 cm - AC = 7 cm - BC ≈ 11,22 cm

Étape 1 : tracer la base AB

1. Sur la feuille, tracez un segment horizontal AB de longueur 8 cm.

Étape 2 : tracer le cercle de centre A

2. Placez votre compas en A et tracez un arc de cercle de rayon 7 cm. C’est la place possible pour C.

Étape 3 : tracer le cercle de centre B

3. Placez votre compas en B et tracez un autre arc de cercle de rayon 11,22 cm (valeur approchée). Ce cercle coupe le précédent en deux points potentiels.

Étape 4 : choix du point C

4. L’un des points d’intersection des deux arcs est le sommet C du triangle recherché.

Étape 5 : vérifier la médiane AM

5. Reliez A–C et B–C pour former le triangle ABC.
6. Avec la règle, placez M milieu du segment [BC]. Mesurez AM : vous obtenez bien 5 cm.

Conclusion

Le triangle ABC ainsi tracé a bien : - AB = 8 cm - AC = 7 cm - AM = 5 cm, c’est la médiane issue de A - BC ≈ 11,22 cm, conforme au théorème d’Apollonius.