Tracer un cercle de centre \(O\) et de rayon 3 cm, puis placer trois points \(A\), \(B\) et \(C\) sur ce cercle. Que peut-on dire du triangle \(ABC\) ? (Indication : observer l’angle inscrit)
Le triangle \(ABC\) est inscrit dans un cercle de centre \(O\) et de rayon 3,cm, donc \(O\) est le centre du cercle circonscrit au triangle \(ABC\).
Pour résoudre cet exercice, on trace un cercle de centre \(O\) et de rayon \(3\,\text{cm}\). On place trois points \(A\), \(B\) et \(C\) sur ce cercle.
Tous les points \(A\), \(B\), \(C\) étant sur le cercle de centre \(O\) et de rayon \(3\,\text{cm}\), on a :
\[ OA = OB = OC = 3\,\text{cm} \]
Les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont situés sur un même cercle : le triangle \(ABC\) est donc un triangle inscrit.
Un angle inscrit intercepte un arc du cercle. Par le théorème de l’angle au centre :
\[ \text{angle au centre interceptant un même arc} = 2 \times \text{angle inscrit} \]
Par exemple :
\[ \widehat{BOC} = 2\,\widehat{BAC} \]
car les deux angles interceptent l’arc \(BC\).
Comme \(O\) est équidistant de \(A\), \(B\) et \(C\), c’est le centre du cercle circonscrit au triangle \(ABC\). Le rayon de ce cercle circonscrit est \(3\,\text{cm}\).
Le triangle \(ABC\) est inscrit dans un cercle de centre \(O\) et de rayon \(3\,\text{cm}\). Le point \(O\) est donc le centre du cercle circonscrit au triangle \(ABC\).