Exercice 34

Construire un triangle \(ABC\) connaissant \(AB = 7\) cm, la hauteur issue de \(C\) qui mesure 4 cm et \(AC = 6\) cm.

Réponse

Tracer AB=7 cm. Sur AB, dresser en un point H une parallèle à AB à 4 cm ; tracer un arc de cercle de centre A et rayon 6 cm ; l’intersection donne C. Joindre C à B.

Corrigé détaillé

Principes de construction

Pour construire un triangle connaissant deux longueurs et une hauteur, on utilise deux « lieux géométriques » :

1. La droite l parallèle à la base [AB] située à la distance de la hauteur (4 cm). Tous les points de l sont à 4 cm de la droite AB.
2. Le cercle de centre A et de rayon AC=6 cm. Tous les points de ce cercle sont à 6 cm du point A.

L’intersection de ces deux lieux (la droite l et le cercle) fournit le (ou les) point(s) C vérifiant simultanément AC=6 cm et CH=4 cm (hauteur).

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Étape 1 : Tracer la base AB

1. À l’aide de la règle graduée, tracer le segment [AB] de longueur 7 cm.

Étape 2 : Construire la parallèle à AB à 4 cm

1. Choisir un point provisoire P hors de AB et y dresser, avec l’équerre, une perpendiculaire π à la droite AB.
2. Sur π, marquer le point P′ tel que PP′ = 4 cm.
   
3. À l’aide de la règle, tracer la droite l passant par P′ et parallèle à AB.
   > Par construction, tout point de l est à 4 cm de la droite AB.

Étape 3 : Tracer le cercle de centre A et rayon 6 cm

1. Installer la pointe sèche du compas sur A.
2. Ouvrir le compas à 6 cm.
3. Tracer un arc de cercle coupant la droite l en deux points (C et C′).

Étape 4 : Déterminer le point C

1. Les points C et C′ sont à 6 cm de A (sur le cercle) et à 4 cm de AB (sur la parallèle).
   
2. Choisir l’un des deux (on prend C).
   > Par définition, CH est alors la hauteur issue de C dans le triangle.

Étape 5 : Compléter le triangle

1. Relier C à B pour former le segment [BC].
   
2. Le triangle ABC est ainsi construit avec :
   • AB = 7 cm,
   • AC = 6 cm,
   • CH ⟂ AB et CH = 4 cm.

Vérification

• Toute règle de la droite l garantit la hauteur CH = 4 cm.
  
• Le cercle de centre A garantit AC = 6 cm.
  
• La base AB a été tracée à 7 cm.

Par intersection de ces deux lieux géométriques, on obtient le point C satisfaisant les trois données, et le triangle ABC est correctement construit.