Exercice 21

Construire la perpendiculaire à une droite \((d)\) passant par un point \(A\) extérieur à cette droite.

Réponse

\(\text{La droite }(d')\text{ perpendiculaire à }(d)\text{ et passant par }A.\)

Corrigé détaillé

Énoncé

Construire la perpendiculaire à une droite \((d)\) passant par un point \(A\) extérieur à cette droite.

Matériel nécessaire

• Une règle non graduée
• Un compas
• Un crayon

Principe de la construction

Pour tracer la perpendiculaire à une droite depuis un point extérieur, on utilise la propriété suivante : si un point est équidistant de deux points sur une droite, alors il se trouve sur la ligne perpendiculaire à cette droite et passant par le milieu du segment formé par ces deux points.

Étapes de la construction

1. Tracer un arc centré en A

• Place la pointe sèche du compas en \(A\).
• Trace un arc de cercle de rayon quelconque qui coupe la droite \((d)\) en deux points \(B\) et \(C\).

2. Construire deux arcs de même rayon

• Ajuste le compas sur un rayon « supérieur à la moitié de la distance BC ».
• Trace un arc centré en \(B\) et un autre arc centré en \(C\), de sorte que ces deux arcs se croisent en deux points \(D\) et \(E\), de part et d’autre de la droite \((d)\).

3. Tracer la perpendiculaire

• Relie le point \(A\) à l’un des deux points d’intersection, par exemple \(D\), à l’aide de la règle.
• Cette droite \((AD)\) est la perpendiculaire à \((d)\) passant par \(A\).

Justification pédagogique

1. Les points \(B\) et \(C\) sont sur la droite \((d)\) et ont été choisis à la même distance de \(A\) grâce à l’arc centré en \(A\).
2. Les arcs centrés en \(B\) et \(C\) avec le même rayon garantissent que \(D\) (et \(E\)) est équidistant de \(B\) et de \(C\).
3. La droite qui passe par \(A\) et par un point équidistant de \(B\) et \(C\) est, par définition, perpendiculaire à \((d)\), car elle construit l’axe de symétrie du segment \([BC]\).

Ainsi, la construction est complète et vérifiée : \((AD)\perp(d)\) et \(A\in(AD)\).