Exercice 27

Construire la parallèle à une droite \((d)\) passant par un point \(A\) situé à 4 cm de \((d)\).

Réponse

\[d':\; d'\parallel d\quad\text{et}\quad A\in d'.\]

Corrigé détaillé

Contexte et stratégie

On souhaite construire, à la règle et au compas, une droite parallèle à une droite donnée \(d\) et passant par un point \(A\) extérieur à \(d\). Pour cela, nous allons utiliser successivement la construction d’une perpendiculaire à une droite depuis un point extérieur, puis la construction d’une perpendiculaire à cette perpendiculaire (car la perpendiculaire d’une perpendiculaire est parallèle à la droite d’origine).

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1. Construire la perpendiculaire à \(d\) passant par \(A\)

1. Choisir un rayon arbitraire \(r\) (avec le compas) tel que le cercle de centre \(A\) et de rayon \(r\) coupe \(d\) en deux points distincts. On note ces points d’intersection \(B\) et \(C\).
2. Avec le même rayon \(r\), tracer deux arcs de cercle : l’un de centre \(B\), l’autre de centre \(C\). Ces arcs se croisent en deux points, dont l’un noté \(D\) est situé du même côté de \(d\) que \(A\).
3. Tracer la droite \(AD\). Par construction, \(AD\) est la perpendiculaire à \(d\) passant par \(A\).
4. Noter le point d’intersection de \(AD\) avec \(d\). On l’appelle \(H\). La longueur \(AH\) est la distance de \(A\) à \(d\) (ici donnée comme 4 cm).

Propriété utilisée : Une droite tracée par le point d’intersection des arcs de deux cercles de même rayon et dont les centres sont sur une droite \(d\) est perpendiculaire à \(d\).

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2. Construire la perpendiculaire à \(AD\) passant par \(A\)

1. À présent, on veut tracer la perpendiculaire à la droite \(AD\) passant par le point \(A\). Cette nouvelle droite sera donc parallèle à \(d\) car elle est perpendiculaire à une perpendiculaire de \(d\).
2. Répéter la même méthode qu’à l’étape précédente :
   1. Choisir un nouveau rayon \(r'\) quel qu’il soit.
      
   2. Tracer un cercle de centre \(A\) et de rayon \(r'\) qui coupe \(AD\) en deux points \(E\) et \(F\).
      
   3. Avec le même rayon \(r'\), tracer deux arcs de cercle de centres \(E\) et \(F\). Ils se croisent en deux points ; prendre celui qui se trouve de part et d’autre de \(AD\), on l’appellera \(G\).
      
   4. Tracer la droite \(AG\). Par construction, cette droite est perpendiculaire à \(AD\).

Propriété utilisée : La perpendiculaire à une droite \((AD)\) passant par \(A\) est la droite obtenue en construisant un angle droit sur \((AD)\) au point \(A\).

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Conclusion

La droite ainsi tracée \((AG)\) vérifie :

\[ AG\perp AD \quad\text{et}\quad AD\perp d \implies AG\parallel d. \]

Elle passe bien par \(A\) et reste à la même distance de 4 cm de la droite \(d\) en tout point. C’est la parallèle recherchée.

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Remarque pédagogique : - La construction de la perpendiculaire à une droite depuis un point extérieur est un outil fondamental.
- Enchaîner deux perpendiculaires permet de passer de la notion de distance (via la première perpendiculaire) à la notion de parallélisme (via la seconde).
- L’usage du compas et de la règle sans graduation exige de transférer des distances et des angles par des techniques de base (cercles et arcs).