Exercice 18

Tracer les trois médianes d’un triangle \(ABC\) quelconque. Que remarque-t-on ?

Réponse

Les trois médianes sont concourantes en un même point (le centroïde) qui divise chacune selon le rapport 2:1.

Corrigé détaillé

Construction des médianes

Pour construire les médianes du triangle \(ABC\) :

Étape 1 – Repérer les points milieux

• Sur le côté \(BC\), placer le point \(M_a\) tel que \(BM_a = M_aC\).
  
• Sur le côté \(CA\), placer le point \(M_b\) tel que \(CM_b = M_bA\).
  
• Sur le côté \(AB\), placer le point \(M_c\) tel que \(AM_c = M_cB\).

Étape 2 – Tracer les médianes

• Tracer le segment \(AM_a\) (médiane issue de \(A\)).
  
• Tracer le segment \(BM_b\) (médiane issue de \(B\)).
  
• Tracer le segment \(CM_c\) (médiane issue de \(C\)).

Propriété de concourance

Les trois médianes se coupent en un même point noté \(G\), appelé centroïde ou centre de gravité du triangle.

Propriété du centroïde

Le centroïde \(G\) divise chaque médiane en deux segments dont la partie joignant le sommet est deux fois plus longue que celle joignant le milieu du côté opposé. Par exemple :

\[ \frac{AG}{GM_a} = 2 \]

De même :

\[ \frac{BG}{GM_b} = 2 \quad\text{et}\quad \frac{CG}{GM_c} = 2. \]

Conclusion : les trois médianes sont concourantes en \(G\), et chacune est divisée par \(G\) selon le rapport \(2:1\).