Exercice 12

Tracer la bissectrice d’un angle de 80°.

Réponse

La bissectrice de l’angle de \(80^\circ\) forme deux angles de \(40^\circ\).

Corrigé détaillé

Matériel

• Règle non graduée
• Compas

Situation de départ

Soit l’angle \(\angle BAC\) de mesure \(80^\circ\) que l’on souhaite bisecter.

Étape 1 : Tracer un arc centré en A

1. Placer la pointe sèche du compas en A.
2. Ouvrir le compas à une ouverture raisonnable (par exemple 2–3 cm).
3. Tracer un arc qui coupe les côtés \([AB\) et \([AC\) en deux points que l’on nomme D et E.

Illustration

    D
   /|\
  / | \
A     C
  \ | /
   \|/
    E

Étape 2 : Tracer deux arcs de même rayon depuis D et E

1. Garder la même ouverture du compas.
2. Centrer la pointe sèche en D et tracer un arc à l’intérieur de l’angle.
3. Sans modifier l’ouverture, centrer la pointe sèche en E et tracer un arc qui croise le premier en un point F.

Étape 3 : Relier A à F

Tracer la demi-droite \([AF\). C’est la bissectrice de \(\angle BAC\).

Propriété de la bissectrice

La bissectrice d’un angle est l’ensemble des points équidistants de ses côtés.

Justification

1. Les points D et E sont obtenus par un même arc centré en A : AD = AE.
2. Les deux arcs tracés depuis D et E ont même rayon : FD = FE.
3. Par définition, tout point de la bissectrice est équidistant des côtés de l’angle.
4. La demi-droite \([AF\) passe par un tel point F : elle divise donc \(\angle BAC\) en deux angles égaux.
5. Comme \(\angle BAC = 80^\circ\), chaque angle vaut \(40^\circ\).

Ainsi, la construction de la demi-droite \([AF\) donne bien la bissectrice souhaitée.