Exercice 35

La longueur d’un rectangle dépasse sa largeur de 7 cm. Le périmètre du rectangle est de 54 cm. En notant \(l\) la largeur, écrire l’équation, la résoudre et donner les dimensions du rectangle.

Réponse

La largeur du rectangle est \(10\ \mathrm{cm}\) et sa longueur est \(17\ \mathrm{cm}\).

Corrigé détaillé

Compréhension de l’énoncé

On a un rectangle dont la longueur dépasse la largeur de 7 cm. Le périmètre est de 54 cm. Il faut trouver la largeur \(l\) et en déduire la longueur.

Mise en place de l’équation

1. Définition des variables

• On note \(l\) la largeur du rectangle (en cm).
  
• La longueur est alors \(l + 7\) (en cm).

2. Expression du périmètre

Pour un rectangle, le périmètre \(P\) s’obtient par la formule :

\[ P = 2 \times (\text{largeur} + \text{longueur}). \]

Ici, on sait que \(P = 54\) cm, la largeur est \(l\) et la longueur est \(l + 7\). On écrit donc :

\[ 54 = 2 \times \bigl(l + (l + 7)\bigr). \]

Résolution de l’équation

1. Développer l’expression à droite : \[ 54 = 2 \times (l + l + 7) = 2 \times (2l + 7). \]
2. Calculer la multiplication par 2 : \[ 54 = 4l + 14. \]
3. Isoler \(l\) :
   • Soustraire 14 des deux côtés : \[ 54 - 14 = 4l \] \[ 40 = 4l \]
   • Diviser par 4 : \[ l = \frac{40}{4} = 10. \]

Conclusion

La largeur du rectangle est de \(10\) cm.
Sa longueur, qui est \(l + 7\), vaut \(10 + 7 = 17\) cm.

Dimensions du rectangle : largeur = 10 cm, longueur = 17 cm.