Développer : \((x + 3)(x + 2)\). (Note : pour les élèves avancés)
\[x^2 + 5x + 6\]
Nous voulons développer le produit de deux binômes :
\[ (x + 3)\,(x + 2). \]
Développer signifie transformer une expression sous forme de produit en une somme de termes semblables regroupés.
La distributivité s’énonce ainsi pour trois nombres ou expressions a,
b et c :
\[
a\,(b + c) = a\,b + a\,c.
\]
Dans notre cas, nous avons deux parenthèses. Nous appliquons la distributivité d’abord en considérant le premier binôme comme facteur global :
\[ (x + 3)\,(x + 2) = x\,(x + 2) + 3\,(x + 2). \]
Multiplier \(x\) par chaque terme du second binôme :
\[ x\,(x + 2) = x\times x + x\times 2 = x^2 + 2x. \]
Multiplier \(3\) par chaque terme du second binôme :
\[ 3\,(x + 2) = 3\times x + 3\times 2 = 3x + 6. \]
Nous ajoutons les deux résultats obtenus :
\[ x^2 + 2x + 3x + 6. \]
Ensuite, on regroupe les termes qui ont la même puissance de \(x\). Ici, \(2x\) et \(3x\) sont semblables :
\[ x^2 + (2x + 3x) + 6 = x^2 + 5x + 6. \]
L’expression développée de \((x + 3)(x + 2)\) est :
\[ x^2 + 5x + 6. \]
Cette méthode fondée sur la distributivité et le regroupement de termes permet de développer tout produit de binômes de la même façon.