Exercice 34

Un nombre est tel que si on lui ajoute 12, on obtient le double de ce nombre diminué de 5. Trouver ce nombre.

Réponse

\(17\)

Corrigé détaillé

Compréhension de l’énoncé

L’énoncé nous dit qu’un certain nombre, que nous appellerons le nombre mystère, vérifie la propriété suivante :

• Si on lui ajoute 12, on obtient exactement le même résultat que lorsqu’on double ce nombre puis qu’on retranche 5.

Autrement dit, les deux calculs ci-dessous donnent le même nombre :

1. Ajouter 12 au nombre mystère.
2. Doubler le nombre mystère, puis soustraire 5.

Principe de résolution

Quand deux expressions sont égales, la différence entre ces deux expressions est nulle. Nous allons donc :

1. Définir chacune des deux expressions.
2. Calculer leur différence.
3. Imposer que cette différence soit zéro pour trouver le nombre mystère.

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1. Définition des deux expressions

Soit \(N\) le nombre mystère.

• Expression A : on ajoute 12 : \[ A = N + 12 \]

• Expression B : on double, puis on enlève 5 : \[ B = 2N - 5 \]

2. Calcul de la différence

Nous considérons maintenant :

\[ B - A = (2N - 5) - (N + 12). \]

En développant et en simplifiant :

\[ B - A = 2N - 5 - N - 12 = (2N - N) + (-5 - 12) = N - 17. \]

3. Mise en place de la condition d’égalité

Pour que les deux expressions \(A\) et \(B\) soient égales, il faut que leur différence soit nulle :

\[ B - A = 0. \]

D’après nos calculs, cela signifie :

\[ N - 17 = 0. \]

Donc :

\[ N = 17. \]

Conclusion

Le nombre cherché est 17.

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Remarque pédagogique : - On utilise ici la propriété fondamentale selon laquelle deux quantités égales ont une différence nulle. - Cette méthode permet de résoudre tous les problèmes du premier degré sans faire appel à des racines ou à des fonctions complexes.