Une fonction \(f\) vérifie \(f(1) = 5\), \(f(2) = 8\), \(f(3) = 11\), \(f(4) = 14\). Proposer une formule pour \(f(x)\) et vérifier qu’elle convient.
\[f(x)=3x+2\]
On dispose des valeurs suivantes : - x = 1 → f(x) = 5 - x = 2 → f(x) = 8 - x = 3 → f(x) = 11 - x = 4 → f(x) = 14
On observe que chaque fois que x augmente de 1, la valeur de f(x) augmente de 3.
Une suite de valeurs dont les différences successives sont constantes correspond à une relation de la forme \(f(x)=ax+b\).
La variation de f(x) associée à une variation de x de 1 vaut \[ f(x+1)-f(x)=3 \] Donc \(a=3\).
On utilise l’une des valeurs connues, par exemple pour \(x=1\) : \[ f(1)=3\times1+b=5 \] Donc \(b=5-3=2\).
On en déduit : \[ f(x)=3x+2 \]
Pour chaque valeur de x donnée : - \(x=1\) : \(f(1)=3\times1+2=5\) - \(x=2\) : \(f(2)=3\times2+2=8\) - \(x=3\) : \(f(3)=3\times3+2=11\) - \(x=4\) : \(f(4)=3\times4+2=14\)
Ainsi, la formule \(f(x)=3x+2\) convient pour toutes les valeurs proposées.