Soit \(f(x) = ax + b\) une fonction affine. Sachant que \(f(2) = 7\) et \(f(5) = 16\), déterminer \(a\) et \(b\).
À partir de \[f(2)=7,\ f(5)=16\] on trouve \[a=3\quad\text{et}\quad b=1\.\]
Nous avons une fonction affine de la forme
\[f(x)=a\,x+b\]
et on connaît deux valeurs de cette fonction :
L’objectif est de déterminer les paramètres \(a\) (la pente) et \(b\) (l’ordonnée à l’origine) de la fonction.
Ces deux relations traduisent simplement la définition de la fonction affine appliquée aux abscisses 2 et 5.
Pour trouver \(a\), on soustrait la première relation de la deuxième :
\[ \bigl(a\times 5 + b\bigr) - \bigl(a\times 2 + b\bigr) = 16 - 7 \]
En développant et en simplifiant :
\[ 5a + b - 2a - b = 9 \]
Les termes en \(b\) se suppriment, ce qui donne :
\[ 3a = 9 \]
On en déduit immédiatement :
\[ a = \frac{9}{3} = 3 \]
On remplace maintenant \(a=3\) dans l’une des deux relations initiales. Par exemple dans \(f(2)=7\) :
\[ 3\times 2 + b = 7 \]
D’où :
\[ 6 + b = 7 \quad\Longrightarrow\quad b = 7 - 6 = 1 \]
Les paramètres de la fonction sont :
\[ a = 3 \quad\text{et}\quad b = 1 \]
Ainsi, la fonction affine recherchée s’écrit :
\[ f(x)=3x+1 \]