Exercice 31

Soit \(f(x) = 2x + 3\). Montrer que \(f(a+b)\) n’est pas toujours égal à \(f(a) + f(b)\) en donnant un contre-exemple avec \(a = 1\) et \(b = 2\).

Réponse

\[f(1+2)=9\neq f(1)+f(2)=12\]

Corrigé détaillé

Présentation de l’exercice

Nous avons la règle suivante pour toute valeur de x : \[ f(x)=2x+3 \] On souhaite vérifier si l’égalité \[ f(a+b)=f(a)+f(b) \] est toujours vraie. Pour cela, on prend un contre-exemple avec a=1 et b=2.

Étape 1 : calcul de f(1+2)

1. On remplace x par 1+2.
2. On calcule d’abord la somme 1+2 = 3.
3. On applique la règle : f(3) = 2·3 + 3.
4. On effectue les opérations : 2·3 = 6, puis 6 + 3 = 9.

Résultat : \[f(1+2)=f(3)=9.\]

Étape 2 : calcul de f(1) et de f(2)

1. Pour f(1), on remplace x par 1 : f(1)=2·1+3 = 2+3 = 5.
2. Pour f(2), on remplace x par 2 : f(2)=2·2+3 = 4+3 = 7.

Résultats : \[f(1)=5\] et \[f(2)=7.\]

Étape 3 : addition de f(1) et f(2)

On ajoute ces deux valeurs : \[ f(1)+f(2)=5+7=12. \]

Conclusion

On compare les deux résultats : - f(1+2)=9 - f(1)+f(2)=12

Comme \(9\) n’est pas égal à \(12\), on a bien établi que \[ f(a+b)\neq f(a)+f(b) \] pour a=1 et b=2. Ce contre-exemple montre que la propriété n’est pas vérifiée pour la fonction donnée.