Exercice 32

Une fonction linéaire \(f\) vérifie \(f(3) = 12\). Quelle est cette fonction ? Calculer \(f(7)\).

Réponse

\[f(x)=4x\] et \[f(7)=28\]

Corrigé détaillé

Correction détaillée

1. Définition d’une fonction linéaire

Une fonction linéaire est un type de fonction qui associe à chaque nombre réel \(x\) un nombre \(f(x)\) obtenu en multipliant \(x\) par une constante \(m\). On l’écrit :

\[f(x)=m\times x.\]

Ici, \(m\) est appelé coefficient directeur.

2. Utilisation de la donnée \(f(3)=12\)

On sait que l’image de 3 par la fonction vaut 12, c’est-à-dire :

\[f(3)=12.\]

D’après la formule de la fonction linéaire, on a :

\[ 12 = f(3) = m \times 3. \]

Pour trouver \(m\), on effectue la division de chaque côté de l’égalité par 3 :

\[ m = \frac{12}{3} = 4. \]

3. Écriture de la fonction trouvée

Le coefficient directeur est donc \(m=4\). La fonction s’écrit :

\[f(x)=4x.\]

4. Calcul de \(f(7)\)

Pour déterminer l’image de 7, on remplace \(x\) par 7 dans la formule :

\[ f(7) = 4 \times 7 = 28. \]

5. Bilan de la méthode

1. Identifier la forme de la fonction linéaire : \(f(x)=m x\).
2. Utiliser l’image connue pour calculer le coefficient \(m\).
3. Réécrire la fonction complète.
4. Appliquer cette fonction à la valeur demandée.

Cette démarche, simple et efficace, est valable pour toute fonction linéaire de la forme \(f(x)=m x\).