Exercice 85

Question : Un vase cylindrique en céramique possède des parois et un fond d’une épaisseur de 1,0 cm. Son volume intérieur est de \(15\,000\,\mathrm{cm}^{3}\) et sa hauteur extérieure est de 50 cm.

Quelle est son diamètre intérieur ?

Réponse

Le diamètre intérieur du vase est d’environ 20 cm.

Corrigé détaillé

Correction détaillée :

Nous devons déterminer le diamètre intérieur d’un vase cylindrique en céramique en connaissant son volume intérieur, son épaisseur des parois et du fond, ainsi que sa hauteur extérieure.

Données fournies : - Épaisseur des parois et du fond : \(e = 1{,}0\,\mathrm{cm}\) - Volume intérieur : \(V_i = 15\,000\,\mathrm{cm}^{3}\) - Hauteur extérieure : \(H_e = 50\,\mathrm{cm}\)

Étapes de la résolution :

1. Comprendre les dimensions intérieures du vase :

   • Hauteur intérieure (\(H_i\)) :

     Le vase a une hauteur extérieure de \(50\,\mathrm{cm}\) et une épaisseur de \(1{,}0\,\mathrm{cm}\) au fond. Comme le vase est ouvert en haut (absence d’épaisseur mentionnée pour le haut), la hauteur intérieure est simplement la hauteur extérieure moins l’épaisseur du fond.

     \[ H_i = H_e - e = 50\,\mathrm{cm} - 1{,}0\,\mathrm{cm} = 49\,\mathrm{cm} \]

   • Rayon intérieur (\(r_i\)) :

     Nous devons déterminer le diamètre intérieur, mais pour cela, trouvons d’abord le rayon intérieur.

2. Utiliser la formule du volume d’un cylindre :

   Le volume intérieur d’un cylindre est donné par la formule :

   \[ V_i = \pi r_i^2 H_i \]

   Où :

   • \(V_i\) est le volume intérieur,
   • \(r_i\) est le rayon intérieur,
   • \(H_i\) est la hauteur intérieure.

3. Isoler le rayon intérieur (\(r_i\)) :

   \[ r_i^2 = \frac{V_i}{\pi H_i} \]

   \[ r_i = \sqrt{\frac{V_i}{\pi H_i}} \]

4. Calculer le rayon intérieur :

   Substituons les valeurs connues dans l’équation :

   \[ r_i = \sqrt{\frac{15\,000\,\mathrm{cm}^{3}}{\pi \times 49\,\mathrm{cm}}} \]

   \[ r_i = \sqrt{\frac{15\,000}{153{,}938}} \]

   \[ r_i \approx \sqrt{97{,}5} \approx 9{,}87\,\mathrm{cm} \]

5. Déterminer le diamètre intérieur :

   Le diamètre est le double du rayon.

   \[ D_i = 2 \times r_i = 2 \times 9{,}87\,\mathrm{cm} \approx 19{,}75\,\mathrm{cm} \]

   Arrondi : Pour simplifier, nous arrondissons le diamètre intérieur à \(20\,\mathrm{cm}\).

Conclusion :

Le diamètre intérieur du vase cylindrique est d’environ 20 cm.