Question : À l’aide de feuilles de métal de même épaisseur, on fabrique des récipients cubiques sans couvercle dont les capacités sont respectivement de \(2\,L\), \(16\,L\), \(\frac{1}{4}\,L\), \(4\,L\) et \(64\,L\).
Le récipient d’une capacité de \(2\,L\) a une masse à vide de \(300\,g\).
Quelle est la masse de chacun des autres récipients ?
Les masses des autres récipients sont :
Énoncé :
À l’aide de feuilles de métal de même épaisseur, on fabrique des
récipients cubiques sans couvercle dont les capacités sont
respectivement de \(2\,L\), \(16\,L\), \(\frac{1}{4}\,L\), \(4\,L\) et \(64\,L\).
Le récipient d’une capacité de \(2\,L\) a une masse à vide de \(300\,g\).
Question :
Quelle est la masse de chacun des autres récipients ?
Pour déterminer la masse des différents récipients, nous devons comprendre la relation entre leur capacité (volume) et leur masse. Puisque tous les récipients sont fabriqués avec des feuilles de métal de même épaisseur, la masse dépend principalement de la surface totale utilisée pour fabriquer le récipient.
Comprendre la Forme des Récipients :
Les récipients sont cubiques sans couvercle.
Un cube a :
Relation entre Masse et Surface :
La masse (\(m\)) du récipient est
proportionnelle à sa surface totale (\(S\)), car l’épaisseur et la densité du
métal sont constantes. Donc : \[ m \propto S
\quad \Rightarrow \quad \frac{m_1}{m_2} = \frac{S_1}{S_2}
\]
Calculer la Surface en Fonction du Volume
:
Puisque \(V = a^3\), on peut exprimer
\(a\) en fonction de \(V\) : \[ a =
V^{1/3} \] La surface sans couvercle devient : \[ S = 5a^2 = 5(V^{1/3})^2 = 5V^{2/3}
\]
Exprimer la Masse en Fonction du Volume :
Comme \(m \propto S\) et \(S = 5V^{2/3}\) : \[ m = k \cdot V^{2/3} \] Où \(k\) est une constante de
proportionnalité.
Déterminer la Constante de Proportionnalité (\(k\)) :
On sait que pour \(V = 2\,L\), \(m = 300\,g\) : \[ 300 = k \cdot (2)^{2/3} \] \[ k = \frac{300}{2^{2/3}} \]
Calculer les Masses des Autres Récipients
:
Pour chaque volume \(V\), la masse
\(m\) est : \[ m = \frac{300}{2^{2/3}} \cdot V^{2/3}
\]
Simplifions en calculant \(2^{2/3}\) : \[ 2^{2/3} \approx 1.5874 \] Donc : \[ k \approx \frac{300}{1.5874} \approx 189.736\,g/L^{2/3} \]
Ainsi, la masse devient : \[ m \approx 189.736 \cdot V^{2/3} \]
Calcul des Masses pour Chaque Volume :
Pour \(16\,L\) : \[ m = 189.736 \cdot (16)^{2/3} \] \[ 16^{1/3} = 2.5198 \Rightarrow 16^{2/3} = (2.5198)^2 \approx 6.3496 \] \[ m \approx 189.736 \cdot 6.3496 \approx 1204\,g \]
Pour \(\frac{1}{4}\,L\) : \[ m = 189.736 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{2/3} \] \[ \left(\frac{1}{4}\right)^{1/3} = \frac{1}{1.5874} \approx 0.63 \Rightarrow \left(\frac{1}{4}\right)^{2/3} \approx 0.4 \] \[ m \approx 189.736 \cdot 0.4 \approx 75.895\,g \]
Pour \(4\,L\) : \[ m = 189.736 \cdot (4)^{2/3} \] \[ 4^{1/3} \approx 1.5874 \Rightarrow 4^{2/3} \approx 2.5198 \] \[ m \approx 189.736 \cdot 2.5198 \approx 478\,g \]
Pour \(64\,L\) : \[ m = 189.736 \cdot (64)^{2/3} \] \[ 64^{1/3} = 4 \Rightarrow 64^{2/3} = 16 \] \[ m \approx 189.736 \cdot 16 \approx 3035.78\,g \]
Arrondir les Résultats :
Pour simplifier, arrondissons les masses aux unités les plus
proches.
En utilisant la relation entre la surface des récipients cubiques et leur capacité, nous avons déterminé que la masse des récipients varie en fonction du volume élevé à la puissance \(\frac{2}{3}\). En appliquant cette méthode, nous avons calculé avec précision la masse de chaque récipient en fonction de sa capacité.