Question : Un ballon de football est approximé par une sphère de rayon 14 cm.
Calcule le volume \(\mathcal{V}\) de ce ballon. Donne la valeur exacte puis le résultat arrondi au cm³.
Une balle est une réduction de ce ballon à l’échelle \(\frac{3}{5}\). Calcule le volume \(V'\) de cette balle. Donne la valeur exacte puis le résultat arrondi au cm³.
Nous allons résoudre la question en deux parties en utilisant la formule du volume d’une sphère qui est :
Volume V = (4/3) × π × (rayon)³.
────────────────────────────── Partie a : Calcul du volume du ballon de football
On nous donne le rayon du ballon : r = 14 cm.
Calculons r³ : 14³ = 14 × 14 × 14 = 196 × 14 = 2744.
La formule du volume devient donc : V = (4/3) × π × 2744 = (4 × 2744 / 3) × π.
Multiplions 4 par 2744 : 4 × 2744 = 10976.
Le volume exact s’écrit ainsi : V = (10976π) / 3 cm³.
Pour obtenir une valeur approchée, nous effectuons le calcul numérique : – D’abord, calculez 10976 ÷ 3 ≈ 3658,67. – Ensuite, multipliez par π (en prenant π ≈ 3,1416) : 3658,67 × 3,1416 ≈ 11494.
Donc, le volume du ballon est exactement (10976π)/3 cm³ et environ 11494 cm³ arrondi au cm³.
────────────────────────────── Partie b : Calcul du volume de la balle réduite à l’échelle 3/5
La balle est une réduction du ballon avec un facteur d’échelle de 3/5. Cela signifie que le nouveau rayon r′ est : r′ = (3/5) × 14 = 42/5 cm (ou 8,4 cm).
Son volume V′ s’obtient en remplaçant r par r′ dans la formule de la sphère : V′ = (4/3) × π × (r′)³ = (4/3) × π × (42/5)³.
Calculons (42/5)³ : – D’abord, 42³ = 42 × 42 × 42. Pour la commodité, on calcule : 42² = 1764 puis 1764 × 42 = 74088. – Ensuite, 5³ = 125. Ainsi, (42/5)³ = 74088 / 125.
Le volume s’écrit alors : V′ = (4/3) × π × (74088/125) = (4 × 74088 × π) / (3 × 125).
Calculons le numérateur : 4 × 74088 = 296352. Le volume exact est donc : V′ = (296352π) / 375 cm³. On peut simplifier en divisant numérateur et dénominateur par 3 : 296352 ÷ 3 = 98784 et 375 ÷ 3 = 125, d’où V′ = (98784π) / 125 cm³.
Pour obtenir la valeur approchée, procédons par étapes : – Calculez 98784 ÷ 125 ≈ 790,272. – Ensuite, multipliez par π (≈ 3,1416) : 790,272 × 3,1416 ≈ 2483.
Ainsi, le volume exact de la balle est (98784π)/125 cm³ et son arrondi est d’environ 2483 cm³.
────────────────────────────── En résumé :
Le volume du ballon est V = (10976π)/3 cm³ exactement, ce qui donne environ 11494 cm³.
Le volume de la balle réduite est V′ = (98784π)/125 cm³ exactement, ce qui donne environ 2483 cm³.
Cette démarche permet de comprendre comment, en utilisant la formule du volume d’une sphère et en appliquant le facteur d’échelle, on peut obtenir à la fois des résultats exacts et approchés.