Un cylindre a une hauteur de \(60\,\text{cm}\) et un rayon de base de \(8\,\text{cm}\). À quelle hauteur faut-il le couper pour obtenir deux parties de volume égal ?
Réponse : Il faut couper le cylindre à 30 cm de la base.
Nous commençons par rappeler que le volume d’un cylindre se calcule avec la formule :
Volume = π × (rayon)² × hauteur.
Le rayon est de 8 cm et la hauteur du cylindre est de 60 cm. On a donc : Volume total = π × (8 cm)² × 60 cm = π × 64 × 60 = 3840π (cm³)
Pour couper le cylindre en deux parties de volume égal, chaque partie doit avoir un volume égal à la moitié du volume total : Volume de chaque partie = (3840π) / 2 = 1920π (cm³)
Soit h la hauteur de la partie inférieure du cylindre, qui est elle-même un cylindre de rayon 8 cm. Le volume de cette partie est : Volume inférieur = π × (8 cm)² × h = π × 64 × h = 64πh (cm³) Comme ce volume doit être égal à 1920π, on écrit : 64πh = 1920π
On peut diviser chaque côté de l’équation par π (π ≠ 0) : 64h = 1920 Ensuite, on divise par 64 : h = 1920 / 64 Pour simplifier, on remarque que 1920 ÷ 64 = 30 (car 64 × 30 = 1920).
Il faut couper le cylindre à une hauteur de 30 cm du bas pour obtenir deux parties de volume égal.
Ainsi, la réponse est : à 30 cm de la base du cylindre.