Exercice :
Ces deux cylindres ont-ils le même volume ? Justifiez votre réponse.
Fabriquez des cylindres à partir de ces rectangles et calculez leur volume.
Les deux cylindres fabriqués à partir de rectangles de 18 × 22 cm ont des volumes différents (≈692 cm³ et ≈566 cm³) en raison de variations dans la hauteur et la circonférence. De même, utiliser d’autres rectangles de même aire mais de dimensions différentes produit des cylindres avec des volumes variés.
Énoncé :
Découpez deux rectangles de papier mesurant 18 cm sur 22 cm pour
fabriquer deux cylindres droits, sans fond, sans couvercle et sans aucun
recouvrement, mais de dimensions différentes.
Ces deux cylindres ont-ils le même volume ? Justifiez votre réponse.
Correction :
Pour déterminer si les deux cylindres fabriqués à partir des mêmes rectangles ont le même volume, suivons les étapes suivantes :
Compréhension des dimensions du rectangle
:
Chaque rectangle mesure 18 cm de largeur et 22
cm de longueur.
Fabrication des cylindres :
Lorsqu’on fabrique un cylindre à partir d’un rectangle, l’une des
dimensions du rectangle devient la hauteur (h) du
cylindre, et l’autre dimension devient la circonférence
(C) de la base du cylindre.
Formule du volume d’un cylindre :
\[
V = \pi r^2 h
\] Où :
Calcul du rayon à partir de la circonférence
:
La circonférence d’un cercle est donnée par : \[
C = 2\pi r \implies r = \frac{C}{2\pi}
\]
Expression du volume en fonction de la circonférence et de la hauteur : En remplaçant \(r\) dans la formule du volume : \[ V = \pi \left( \frac{C}{2\pi} \right)^2 h = \pi \left( \frac{C^2}{4\pi^2} \right) h = \frac{C^2 h}{4\pi} \]
Calcul des volumes des deux cylindres :
Premier cylindre : \[ V_1 = \frac{C_1^2 h_1}{4\pi} = \frac{22^2 \times 18}{4\pi} = \frac{484 \times 18}{4\pi} = \frac{8712}{4\pi} \approx \frac{8712}{12.566} \approx 692.08 \, \text{cm}^3 \]
Deuxième cylindre : \[ V_2 = \frac{C_2^2 h_2}{4\pi} = \frac{18^2 \times 22}{4\pi} = \frac{324 \times 22}{4\pi} = \frac{7128}{4\pi} \approx \frac{7128}{12.566} \approx 566.44 \, \text{cm}^3 \]
Conclusion :
Les deux cylindres n’ont pas le même volume.
La différence provient des dimensions choisies pour la hauteur et la circonférence, ce qui influence directement le volume calculé selon la formule \(V = \frac{C^2 h}{4\pi}\).
Énoncé :
Découpez d’autres rectangles ayant la même aire que les deux premiers,
mais de dimensions différentes.
Fabriquez des cylindres à partir de ces rectangles et calculez leur volume.
Correction :
Calcul de l’aire des rectangles initiaux :
\[
\text{Aire} = \text{Longueur} \times \text{Largeur} = 18 \, \text{cm}
\times 22 \, \text{cm} = 396 \, \text{cm}^2
\]
Choix de nouvelles dimensions de rectangles avec la même
aire :
Nous devons trouver des dimensions \(L\) et \(l\) telles que : \[
L \times l = 396 \, \text{cm}^2
\]
Par exemple :
Fabrication des cylindres à partir des nouveaux rectangles :
Pour le Rectangle 1 (12 cm × 33 cm) :
Pour le Rectangle 2 (11 cm × 36 cm) :
Calcul des volumes des cylindres :
Utilisons la formule : \[
V = \frac{C^2 h}{4\pi}
\]
Cylindres fabriqués à partir du Rectangle 1 :
Option 1 : \[ V_1 = \frac{33^2 \times 12}{4\pi} = \frac{1089 \times 12}{4\pi} = \frac{13068}{4\pi} \approx \frac{13068}{12.566} \approx 1039.02 \, \text{cm}^3 \]
Option 2 : \[ V_2 = \frac{12^2 \times 33}{4\pi} = \frac{144 \times 33}{4\pi} = \frac{4752}{4\pi} \approx \frac{4752}{12.566} \approx 377.54 \, \text{cm}^3 \]
Cylindres fabriqués à partir du Rectangle 2 :
Option 1 : \[ V_3 = \frac{36^2 \times 11}{4\pi} = \frac{1296 \times 11}{4\pi} = \frac{14256}{4\pi} \approx \frac{14256}{12.566} \approx 1133.47 \, \text{cm}^3 \]
Option 2 : \[ V_4 = \frac{11^2 \times 36}{4\pi} = \frac{121 \times 36}{4\pi} = \frac{4356}{4\pi} \approx \frac{4356}{12.566} \approx 346.78 \, \text{cm}^3 \]
Résumé des volumes calculés :
| Rectangle | Option | Hauteur (cm) | Circonférence (cm) | Volume (cm³) |
|---|---|---|---|---|
| 12 × 33 | 1 | 12 | 33 | 1039.02 |
| 12 × 33 | 2 | 33 | 12 | 377.54 |
| 11 × 36 | 1 | 11 | 36 | 1133.47 |
| 11 × 36 | 2 | 36 | 11 | 346.78 |
Conclusion :
En fabriquant des cylindres à partir de rectangles ayant la même aire
(396 cm²) mais des dimensions différentes, nous obtenons des volumes
variés. Cela démontre que même si l’aire du rectangle est constante, les
dimensions choisies pour la hauteur et la circonférence influencent
considérablement le volume du cylindre final.