Calculer le volume d’un cylindre dont l’aire totale est de \(69,08 \mathrm{~m}^{2}\) et dont la base a un diamètre de 2 m.
Le cylindre a un rayon de 1 m et une hauteur de 10 m, donc son volume est V = 10π m³, soit environ 31,4 m³.
Nous devons déterminer le volume d’un cylindre dont l’aire totale (S) est donnée par 69,08 m² et dont la base est un cercle de diamètre 2 m. Pour ce cylindre, nous connaissons donc :
• Diamètre de la base = 2 m, ce qui implique que le rayon (r) est
:
r = diamètre / 2 = 2 / 2 = 1 m
Le volume (V) d’un cylindre se calcule avec la formule :
V = Aire de la base × Hauteur
V = πr²h
Cependant, pour utiliser cette formule, il nous faut connaître la hauteur (h). On va donc utiliser l’aire totale pour trouver h.
L’aire totale d’un cylindre est constituée de l’aire des deux bases
et de l’aire latérale. La formule de l’aire totale (S) est :
S = 2πr² + 2πrh
Nous connaissons S = 69,08 m² et r = 1 m. On remplace dans la formule
:
69,08 = 2π(1)² + 2π(1)h
69,08 = 2π + 2πh
Pour isoler h, on soustrait 2π des deux côtés :
2πh = 69,08 − 2π
Ensuite, on divise par 2π :
h = (69,08 − 2π) / (2π)
Calculons d’abord 2π. En utilisant π ≈ 3,14, nous avons :
2π ≈ 2 × 3,14 = 6,28
Maintenant, on calcule h :
h ≈ (69,08 − 6,28) / 6,28
h ≈ 62,80 / 6,28
h ≈ 10
La hauteur du cylindre est donc de 10 m.
Nous pouvons maintenant calculer le volume du cylindre. La formule du
volume est :
V = πr²h
En remplaçant r = 1 m et h = 10 m :
V = π × (1)² × 10
V = 10π
Il est courant d’exprimer le volume en donnant le résultat exact et
une approximation numérique. Ainsi, le volume est :
Volume exact = 10π m³
Volume approximatif ≈ 10 × 3,14 = 31,4 m³
Conclusion : Le volume du cylindre est de 10π m³, soit environ 31,4 m³.
Cette démarche vous permet de comprendre comment partir des informations de l’aire totale et du diamètre de la base pour trouver la hauteur, puis calculer le volume.