L’aire totale des faces d’un prisme droit à base rectangulaire est de \(162\,\text{cm}^{2}\). Les dimensions du rectangle de base sont \(3\) cm et \(7\) cm. Calculer le volume du prisme.
Réponse : La hauteur du prisme est de 6 cm et son volume est de 126 cm³.
Nous vous proposons ci-dessous une correction détaillée.
Identifier les données du problème :
Calculer l’aire de la base : L’aire d’un rectangle se calcule par la formule : Aire = longueur × largeur. Ici, Aire de la base = 3 cm × 7 cm = 21 cm².
Exprimer la surface totale du prisme : La surface totale d’un prisme à base rectangulaire est constituée de : • 2 fois l’aire de la base, • Plus l’aire des 4 faces latérales.
L’aire des faces latérales se trouve à l’aide du périmètre de la base multiplié par la hauteur (h). Le périmètre du rectangle est : P = 2 × (3 cm + 7 cm) = 2 × 10 cm = 20 cm.
Ainsi, l’aire des faces latérales = P × h = 20h.
La surface totale (A_total) est donc : A_total = 2 × (Aire de la base) + (périmètre de la base) × h = 2 × 21 + 20h = 42 + 20h.
Trouver la hauteur du prisme (h) : On sait que A_total = 162 cm², donc : 42 + 20h = 162.
Pour isoler h, on résout l’équation : 20h = 162 - 42 20h = 120.
Divisons ensuite les deux côtés par 20 : h = 120 / 20 h = 6 cm.
Calculer le volume du prisme : Le volume d’un prisme se calcule en multipliant l’aire de la base par la hauteur : Volume = Aire de la base × h.
Remplaçons par les valeurs trouvées : Volume = 21 cm² × 6 cm = 126 cm³.
Conclusion : Le volume du prisme est de 126 cm³.