Exercice 64

Question : Détermine les dimensions de deux cubes sachant que la différence de leurs volumes est de \(27000~\mathrm{cm}^{3}\) et que l’arête de l’un est 15 cm plus longue que celle de l’autre.

Réponse

Cube petit : arête = (5√93 – 15) / 2 cm
Cube grand : arête = (5√93 + 15) / 2 cm

Corrigé détaillé

Nous cherchons les dimensions de deux cubes dont la différence des volumes est égale à 27000 cm³ et dont l’arête du grand cube est 15 cm de plus que celle du petit cube.

1. Soit x la longueur de l’arête du petit cube.
   Alors, la longueur de l’arête du grand cube est x + 15.

2. Le volume d’un cube se calcule en élevant la longueur de son arête au cube.
   Le volume du petit cube est donc x³ et celui du grand cube est (x + 15)³.

3. D’après l’énoncé, la différence des volumes est :
   (x + 15)³ – x³ = 27000.

4. Développons (x + 15)³ en utilisant la formule de développement du cube d’une somme :
   (x + 15)³ = x³ + 3x²·15 + 3x·15² + 15³
   = x³ + 45x² + 675x + 3375.

5. Remplaçons dans l’équation de la différence des volumes :
   (x³ + 45x² + 675x + 3375) – x³ = 27000
   Ce qui se simplifie en :
   45x² + 675x + 3375 = 27000.

6. Pour isoler les termes en x, soustrayons 3375 de chaque côté :
   45x² + 675x = 27000 – 3375
   45x² + 675x = 23625.

7. Divisons l’équation par 45 afin de simplifier :
   x² + 15x = 525
   On obtient ainsi :
   x² + 15x – 525 = 0.

8. Nous obtenons une équation du second degré qu’il faut résoudre.
   Pour cela, nous utilisons la formule quadratique :
   x = [–b ± √(b² – 4ac)] / 2a, avec a = 1, b = 15 et c = –525.

9. Calculons le discriminant (Δ) :
   Δ = 15² – 4 × 1 × (–525)
   = 225 + 2100
   = 2325.

10. On peut écrire la solution positive de l’équation (puisque x représente une longueur, elle doit être positive) :
    x = [–15 + √2325] / 2.
    Remarquons que 2325 peut s’écrire comme 25 × 93, donc √2325 = √(25 × 93) = 5√93.

    Ainsi,
    x = (–15 + 5√93) / 2.

11. Cette valeur correspond à la longueur de l’arête du petit cube.
    Pour l’arête du grand cube, il suffit d’ajouter 15 cm :
    x + 15 = [(–15 + 5√93) / 2] + 15 = (–15 + 5√93 + 30) / 2 = (5√93 + 15) / 2.

En conclusion, les dimensions des cubes sont :

– Cube petit : arête = (5√93 – 15) / 2 cm
– Cube grand : arête = (5√93 + 15) / 2 cm

Ces formules donnent les réponses exactes du problème.