Question : Donne la valeur exacte puis la valeur arrondie au \(\mathrm{cm}^{3}\) du volume d’une boule de diamètre 35 mm.
Le volume de la boule est exactement V = (343π)/48 cm³, ce qui correspond à environ 22 cm³.
Nous voulons calculer le volume d’une boule (c’est-à-dire d’une sphère) de diamètre 35 mm et exprimer ce volume en cm³.
Conversion des unités
Le diamètre est donné en mm, or nous souhaitons un volume en cm³.
• 1 cm = 10 mm
• Le diamètre est 35 mm, donc le rayon (la moitié du diamètre) en mm est
:
r = 35 mm / 2 = 17,5 mm
Convertissons ce rayon en cm :
r = 17,5 mm × (1 cm / 10 mm) = 1,75 cm
Formule du volume d’une sphère
La formule du volume d’une sphère est :
V = (4/3) π r³
Calcul du volume exact
Substituons r = 1,75 cm dans la formule :
V = (4/3) π (1,75)³
Pour obtenir une valeur exacte, exprimons 1,75 sous forme de
fraction.
1,75 = 7/4
Ainsi,
r³ = (7/4)³ = 343/64
Alors,
V = (4/3) π × (343/64) = (4 × 343 π) / (3 × 64)
Calculons le numérateur et le dénominateur :
4 × 343 = 1372
3 × 64 = 192
Donc,
V = (1372 π) / 192
Nous pouvons simplifier cette fraction en divisant le numérateur et le
dénominateur par 4 :
1372 ÷ 4 = 343
192 ÷ 4 = 48
Ainsi, la valeur exacte du volume est :
V = (343 π) / 48 cm³
Arrondi du volume au cm³
Pour obtenir la valeur approchée, nous remplaçons π par sa valeur
approchée (3,14) :
V ≈ (343 × 3,14) / 48
Calculons le numérateur :
343 × 3,14 ≈ 1076,02
Ensuite, divisons par 48 :
1076,02 ÷ 48 ≈ 22,42 cm³
Arrondi à l’unité la plus proche, on obtient :
V ≈ 22 cm³
Récapitulatif :
• Valeur exacte : V = (343 π) / 48 cm³
• Valeur arrondie : V ≈ 22 cm³