Question : Un cube possède une arête de longueur \(4\, \text{cm}\). On considère son agrandissement avec un rapport de \(3\).
Calcule le volume du cube initial.
Quelle est la longueur de l’arête du cube agrandi ? En déduis-en son volume.
Le volume du cube initial est de 64 cm³. Après agrandissement avec un rapport de 3, la longueur de l’arête est de 12 cm et le volume devient 1728 cm³.
Données : - Longueur de l’arête du cube initial : \(a = 4\,\text{cm}\)
Étapes de résolution :
Comprendre la formule du volume d’un cube :
Le volume \(V\) d’un cube se calcule en élevant la longueur de son arête \(a\) à la puissance 3.
\[ V = a^3 \]
Appliquer la formule avec les données fournies :
Remplaçons \(a\) par \(4\,\text{cm}\) dans la formule.
\[ V = (4\,\text{cm})^3 \]
Calculer le volume :
\[ V = 4\,\text{cm} \times 4\,\text{cm} \times 4\,\text{cm} = 64\,\text{cm}^3 \]
Réponse :
Le volume du cube initial est de \(64\,\text{cm}^3\).
Données : - Rapport d’agrandissement : \(r = 3\) - Longueur de l’arête du cube initial : \(a = 4\,\text{cm}\)
Étapes de résolution :
Calcul de la nouvelle longueur de l’arête :
Lorsque l’on agrandit un cube avec un rapport \(r\), la nouvelle longueur de l’arête \(a'\) est donnée par :
\[ a' = r \times a \]
En remplaçant les valeurs :
\[ a' = 3 \times 4\,\text{cm} = 12\,\text{cm} \]
Calcul du volume du cube agrandi :
Utilisons la formule du volume avec la nouvelle longueur de l’arête \(a'\).
\[ V' = (a')^3 \]
Remplaçons \(a'\) par \(12\,\text{cm}\) :
\[ V' = (12\,\text{cm})^3 \]
Effectuer le calcul :
\[ V' = 12\,\text{cm} \times 12\,\text{cm} \times 12\,\text{cm} = 1728\,\text{cm}^3 \]
Réponse :
La longueur de l’arête du cube agrandi est de \(12\,\text{cm}\) et son volume est de \(1728\,\text{cm}^3\).