Une pyramide a une base carrée de \(4\,\text{cm}\) de côté et une arête de \(10\,\text{cm}\). Calculer son volume.
Le volume de la pyramide est (32√23)/3 cm³.
Nous allons déterminer le volume de la pyramide en suivant plusieurs étapes.
Détermination de l’aire de la base
La base de la pyramide est un carré dont le côté mesure 4 cm.
L’aire d’un carré se calcule en élevant la longueur du côté au carré
:
Aire = c² = 4² = 16 cm².
Calcul de la hauteur de la pyramide
L’arête donnée mesure 10 cm. Dans une pyramide dont l’apex est
directement au-dessus du centre de la base, la hauteur, la projection
horizontale du sommet sur la base (ici la distance entre le centre et un
sommet), et l’arête forment un triangle rectangle.
Pour un carré de côté 4 cm, la diagonale complète du carré se calcule
par :
Diagonale = c√2 = 4√2 cm.
Le centre du carré se situe au milieu de la diagonale, donc la distance
entre le centre et un sommet est :
Distance = (Diagonale)⁄2 = (4√2)/2 = 2√2 cm.
Dans le triangle rectangle formé, l’hypoténuse est l’arête de 10 cm,
la projection horizontale (2√2 cm) est l’un des côtés et la hauteur (h)
est l’autre côté.
D’après le théorème de Pythagore, nous avons :
h² + (2√2)² = 10²
h² + (4×2) = 100 (car (2√2)² = 4×2 = 8)
h² + 8 = 100
h² = 100 – 8 = 92
h = √92
On peut simplifier √92 car 92 = 4×23 :
h = √(4×23) = 2√23 cm.
Réponse finale : Le volume de la pyramide est (32√23)/3 cm³.