Question :
Paul souhaite construire un phare en utilisant un cylindre dont le
volume est de \(942{,}48\,\mathrm{cm}^3\) et le rayon de la
base est de 6 cm. Il coupe ce cylindre à un quart de sa hauteur à partir
de la base, puis insère entre les deux parties obtenues un cône ayant le
même volume que le cylindre initial. L’aire de la base du cône est
exactement égale à l’aire de la section de coupe.
Quelle est la hauteur du phare ?
La hauteur du phare est d’environ 33,34 cm.
Correction détaillée : Construction du phare de Paul
Pour déterminer la hauteur du phare que Paul souhaite construire, nous allons analyser chaque étape de la construction en utilisant les données fournies.
Nous connaissons le volume du cylindre \(V_{\text{cyl}} = 942{,}48\,\mathrm{cm}^3\) et le rayon de sa base \(r = 6\,\mathrm{cm}\). La formule du volume d’un cylindre est donnée par : \[ V_{\text{cyl}} = \pi r^2 h \] où \(h\) est la hauteur du cylindre.
Nous pouvons réarranger cette formule pour trouver la hauteur \(h\) : \[ h = \frac{V_{\text{cyl}}}{\pi r^2} \] Substituons les valeurs connues : \[ h = \frac{942{,}48}{\pi \times 6^2} = \frac{942{,}48}{\pi \times 36} \] Calculons le dénominateur : \[ \pi \times 36 \approx 113{,}097 \quad (\text{arrondi à trois décimales}) \] Donc, \[ h \approx \frac{942{,}48}{113{,}097} \approx 8{,}34\,\mathrm{cm} \] La hauteur initiale du cylindre est donc d’environ \(8{,}34\,\mathrm{cm}\).
Paul coupe le cylindre à un quart de sa hauteur à partir de la base. Calculons cette hauteur de coupe : \[ h_{\text{coupe}} = \frac{1}{4} \times h = \frac{1}{4} \times 8{,}34 \approx 2{,}085\,\mathrm{cm} \] Ainsi, la hauteur de la partie inférieure après coupe est d’environ \(2{,}085\,\mathrm{cm}\), et celle de la partie supérieure est : \[ h_{\text{sup}} = h - h_{\text{coupe}} = 8{,}34 - 2{,}085 \approx 6{,}255\,\mathrm{cm} \]
Paul insère un cône entre les deux parties du cylindre. Les informations fournies stipulent : - Le volume du cône \(V_{\text{cône}}\) est égal au volume initial du cylindre, soit \(942{,}48\,\mathrm{cm}^3\). - L’aire de la base du cône est égale à l’aire de la section de coupe du cylindre.
L’aire de la base du cylindre (et donc de la section de coupe) est : \[ A = \pi r^2 = \pi \times 6^2 = 36\pi \approx 113{,}097\,\mathrm{cm}^2 \]
La formule du volume d’un cône est : \[ V_{\text{cône}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h_{\text{cône}} \] où \(h_{\text{cône}}\) est la hauteur du cône.
Nous savons que \(V_{\text{cône}} = 942{,}48\,\mathrm{cm}^3\) et \(A = 36\pi\). Ainsi, en remplaçant dans la formule du volume : \[ 942{,}48 = \frac{1}{3} \times 36\pi \times h_{\text{cône}} \] Simplifions : \[ 942{,}48 = 12\pi \times h_{\text{cône}} \] Isolons \(h_{\text{cône}}\) : \[ h_{\text{cône}} = \frac{942{,}48}{12\pi} \approx \frac{942{,}48}{37{,}699} \approx 25\,\mathrm{cm} \]
Le phare est constitué de trois parties : 1. La partie inférieure du cylindre de hauteur \(2{,}085\,\mathrm{cm}\). 2. Le cône inséré de hauteur \(25\,\mathrm{cm}\). 3. La partie supérieure du cylindre de hauteur \(6{,}255\,\mathrm{cm}\).
La hauteur totale \(H\) du phare est donc la somme des hauteurs de ces trois parties : \[ H = h_{\text{inf}} + h_{\text{cône}} + h_{\text{sup}} = 2{,}085 + 25 + 6{,}255 = 33{,}34\,\mathrm{cm} \]
La hauteur du phare est d’environ 33,34 cm.