Exercice 54

Question : Ce solide est constitué d’un cube surmonté d’un cylindre. L’arête du cube mesure 15 cm et la hauteur du cylindre est de 12 cm.

Calculez son volume total et son aire totale.

Réponse

Volume total = 3375 + 675π cm³
Aire totale = 1350 + 180π cm².

Corrigé détaillé

Nous allons étudier le solide qui se compose d’un cube surmonté d’un cylindre. On vous donne :

 • Arête du cube : 15 cm
 • Hauteur du cylindre : 12 cm

On admet généralement que le cylindre est placé exactement sur le dessus du cube et que son disque de base a pour diamètre la longueur d’un côté du cube, soit 15 cm. Ainsi, le rayon r du disque circulaire du cylindre est :

  r = 15 ÷ 2 = 7,5 cm

────────────────────────────── 1) CALCUL DU VOLUME TOTAL

Le solide est constitué de deux parties dont nous allons déterminer les volumes séparément :

1. Volume du cube
   Le volume d’un cube dont l’arête vaut a se calcule par :
     V_cube = a³
   Ici, a = 15 cm, donc :
     V_cube = 15³ = 15 × 15 × 15 = 3375 cm³

2. Volume du cylindre
   Le volume d’un cylindre se calcule par :
     V_cylindre = Aire de la base × hauteur
   Or, l’aire de la base (un disque) se calcule avec :
     A = πr²
   Ici, r = 7,5 cm et la hauteur h = 12 cm. On obtient :
     A = π × (7,5)² = π × 56,25 = 56,25π cm²
   Donc, le volume du cylindre est :
     V_cylindre = 56,25π × 12 = 675π cm³

3. Volume total
   La somme des deux volumes donne :
     V_total = V_cube + V_cylindre = 3375 + 675π (cm³)

────────────────────────────── 2) CALCUL DE L’AIRE TOTALE

Le solide est un assemblage ; il faut faire attention à ne pas compter deux fois l’aire de la surface qui se touche (celle entre le cube et le cylindre).

Identifions d’abord les surfaces :

I. Pour le cube :
Un cube possède 6 faces, chacune de superficie 15² = 225 cm², donc une superficie totale de 6 × 225 = 1350 cm².
Cependant, le dessus du cube (une face carrée) est partiellement recouvert par le disque circulaire qui forme la base du cylindre.
 • Les faces latérales et le dessous (5 faces) sont entièrement visibles. Leur aire totale vaut : 5 × 225 = 1125 cm².
 • La face supérieure du cube a une aire de 225 cm², mais la partie recouverte par le cylindre ne se voit pas. La partie recouverte est exactement l’aire du disque, soit :
  A_disque = π × r² = π × (7,5)² = 56,25π cm²
 Donc, la partie visible de la face supérieure est : 225 − 56,25π cm².

Ainsi, l’aire visible du cube est :
  A_cube_visible = 1125 + (225 − 56,25π) = 1350 − 56,25π cm²

2. Pour le cylindre :
   Le cylindre possède deux surfaces (en contact avec l’air) :
    a) La surface latérale
     L’aire latérale se calcule par :
      A_laterale = Périmètre de la base × hauteur
     Le périmètre du disque est : 2πr = 2π × 7,5 = 15π
     Donc, A_laterale = 15π × 12 = 180π cm²
    b) La surface de la face supérieure (la base supérieure)
     Cette aire vaut : A_base = π × r² = 56,25π cm²

Ainsi, l’aire du cylindre est :
  A_cylindre = A_laterale + A_base = 180π + 56,25π = 236,25π cm²

3. Aire totale du solide
   On additionne l’aire visible du cube et l’aire visible du cylindre. On ne tient pas compte de la face inférieure du cylindre (celle qui est en contact avec le cube) puisque cette face n’est pas exposée.
     A_total = (A_cube_visible) + (A_cylindre)
     A_total = [1350 − 56,25π] + [236,25π]
     A_total = 1350 + (236,25π − 56,25π)
     A_total = 1350 + 180π cm²

────────────────────────────── RÉPONSES :

• Volume total du solide = 3375 + 675π cm³
• Aire totale du solide = 1350 + 180π cm²

Ces résultats vous donnent la mesure exacte du volume et de la surface extérieure du solide.