Une pyramide à base rectangulaire a un volume de \(75 \mathrm{~cm}^{3}\) et une hauteur de 18 cm. Calculez les dimensions du rectangle de base, sachant que sa longueur est le double de sa largeur.
Largeur l = 2,5 cm et longueur L = 5 cm.
Nous avons une pyramide dont le volume est donné par la formule :
Volume = (1/3) × (aire de la base) × (hauteur).
Ici, la base est un rectangle de longueur L et de largeur l, avec la relation L = 2 × l.
Aire = L × l = (2l) × l = 2l².
Volume = (1/3) × (2l²) × (hauteur).
On connaît le volume (75 cm³) et la hauteur (18 cm), donc :
75 = (1/3) × (2l²) × 18.
(1/3) × 18 = 6, donc l’équation devient : 75 = 6 × 2l².
Calculons 6 × 2l² :
6 × 2l² = 12l², ainsi l’équation s’écrit : 12l² = 75.
l² = 75 / 12.
Simplifions la fraction :
75/12 = (75 ÷ 3) / (12 ÷ 3) = 25/4.
Donc, l² = 25/4.
l = √(25/4) = √25 / √4 = 5/2 = 2,5 cm.
L = 2 × l = 2 × 2,5 cm = 5 cm.
Vérification rapide : Aire de base = 2l² = 2 × (2,5)² = 2 × 6,25 = 12,5 cm². Volume = (1/3) × 12,5 × 18 = (1/3) × 225 = 75 cm³,
ce qui est cohérent avec l’énoncé.
Conclusion : La largeur du rectangle est de 2,5 cm et la longueur de 5 cm.