Exercice :
Quelle est l’aire d’un carré dont le côté mesure \(\sqrt{3}\) ?
Quel est le volume d’un cube dont l’arête mesure \(\sqrt{3}\) ?
Quelle est l’aire totale des faces d’un cube dont le volume vaut \(3\) ?
Résumé des réponses :
Aire du carré : 3 unités carrées.
Volume du cube : \(3\sqrt{3}\) unités cubiques.
Aire totale des faces du cube : \(6 \times \sqrt[3]{9}\) unités carrées.
Étape 1 : Comprendre la formule de l’aire d’un carré
L’aire (\(A\)) d’un carré se calcule en élevant la longueur d’un côté (\(c\)) au carré. La formule est donc : \[ A = c \times c = c^2 \]
Étape 2 : Appliquer la formule avec la mesure donnée
On nous donne que la longueur du côté du carré est \(\sqrt{3}\). Remplaçons \(c\) par \(\sqrt{3}\) dans la formule : \[ A = (\sqrt{3})^2 \]
Étape 3 : Calculer le carré de \(\sqrt{3}\)
Le carré d’une racine carrée simplifie l’expression : \[ (\sqrt{3})^2 = 3 \]
Conclusion :
L’aire du carré est donc de 3 unités carrées.
Étape 1 : Comprendre la formule du volume d’un cube
Le volume (\(V\)) d’un cube se calcule en élevant la longueur d’une arête (\(a\)) au cube. La formule est donc : \[ V = a \times a \times a = a^3 \]
Étape 2 : Appliquer la formule avec la mesure donnée
On nous donne que la longueur de l’arête du cube est \(\sqrt{3}\). Remplaçons \(a\) par \(\sqrt{3}\) dans la formule : \[ V = (\sqrt{3})^3 \]
Étape 3 : Calculer le cube de \(\sqrt{3}\)
Pour calculer \((\sqrt{3})^3\), on peut écrire : \[ (\sqrt{3})^3 = \sqrt{3} \times \sqrt{3} \times \sqrt{3} \] On sait que \(\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3\). Donc : \[ 3 \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \]
Conclusion :
Le volume du cube est donc de \(3\sqrt{3}\) unités cubiques.
Étape 1 : Trouver la longueur de l’arête du cube
On connaît le volume (\(V\)) du cube, qui est égal à \(3\). La formule du volume est : \[ V = a^3 \] Où \(a\) est la longueur de l’arête.
Pour trouver \(a\), on résout l’équation : \[ a^3 = 3 \] On prend la racine cubique de chaque côté : \[ a = \sqrt[3]{3} \]
Étape 2 : Comprendre la formule de l’aire totale d’un cube
Un cube possède 6 faces identiques. L’aire totale (\(A_{\text{total}}\)) se calcule donc par : \[ A_{\text{total}} = 6 \times A_{\text{face}} \] Où \(A_{\text{face}}\) est l’aire d’une seule face.
Étape 3 : Calculer l’aire d’une face
Comme dans la partie a), l’aire d’une face carrée est : \[ A_{\text{face}} = a^2 \] Avec \(a = \sqrt[3]{3}\), on obtient : \[ A_{\text{face}} = (\sqrt[3]{3})^2 = \sqrt[3]{9} \]
Étape 4 : Calculer l’aire totale
En remplaçant dans la formule de l’aire totale : \[ A_{\text{total}} = 6 \times \sqrt[3]{9} \]
Simplification supplémentaire :
On peut exprimer \(\sqrt[3]{9}\) comme \(9^{1/3}\). Toutefois, souvent on laisse l’expression sous cette forme.
Conclusion :
L’aire totale des faces du cube est donc de \(6 \times \sqrt[3]{9}\) unités carrées.
Résumé des réponses :
Aire du carré : \(3\) unités carrées.
Volume du cube : \(3\sqrt{3}\) unités cubiques.
Aire totale des faces du cube : \(6 \times \sqrt[3]{9}\) unités carrées.