Question : Déterminez la hauteur, en centimètres, d’un pot cylindrique de diamètre \(20\ \text{cm}\) dont la capacité est de \(25{,}0\ \text{litres}\).
La hauteur du pot cylindrique est d’environ 79,6 cm.
Pour déterminer la hauteur \(h\) d’un pot cylindrique dont le diamètre est de \(20\ \text{cm}\) et la capacité est de \(25{,}0\ \text{litres}\), suivons les étapes suivantes :
Tout d’abord, convertissons la capacité du pot de litres en centimètres cubes (cm³), car les dimensions du pot sont données en centimètres.
Nous savons que : \[ 1\ \text{litre} = 1000\ \text{cm}^3 \]
Donc, \[ 25{,}0\ \text{litres} = 25{,}0 \times 1000\ \text{cm}^3 = 25{,}000\ \text{cm}^3 \]
Le volume \(V\) d’un cylindre est donné par la formule : \[ V = \pi r^2 h \] où : - \(r\) est le rayon de la base du cylindre, - \(h\) est la hauteur du cylindre, - \(\pi\) est une constante (approximativement \(3{,}1416\)).
Le diamètre \(d\) du cylindre est donné : \[ d = 20\ \text{cm} \]
Le rayon \(r\) est la moitié du diamètre : \[ r = \frac{d}{2} = \frac{20\ \text{cm}}{2} = 10\ \text{cm} \]
Nous connaissons maintenant le volume \(V = 25{,}000\ \text{cm}^3\) et le rayon \(r = 10\ \text{cm}\). Remplaçons ces valeurs dans la formule du volume pour trouver la hauteur \(h\) : \[ 25{,}000\ \text{cm}^3 = \pi \times (10\ \text{cm})^2 \times h \]
Calculons \((10\ \text{cm})^2\) : \[ (10\ \text{cm})^2 = 100\ \text{cm}^2 \]
Ainsi, l’équation devient : \[ 25{,}000\ \text{cm}^3 = \pi \times 100\ \text{cm}^2 \times h \]
Isolons \(h\) dans l’équation : \[ h = \frac{25{,}000\ \text{cm}^3}{\pi \times 100\ \text{cm}^2} = \frac{25{,}000}{100\pi}\ \text{cm} \]
Simplifions : \[ h = \frac{250}{\pi}\ \text{cm} \]
En utilisant la valeur approchée de \(\pi \approx 3{,}1416\), calculons \(h\) : \[ h \approx \frac{250}{3{,}1416} \approx 79{,}6\ \text{cm} \]
La hauteur du pot cylindrique est d’environ 79{,}6 centimètres.