Question : Un réservoir de carburant est de forme cylindrique avec un rayon de \(3\,\text{m}\) et une hauteur de \(10\,\text{m}\). Le réservoir est rempli de carburant jusqu’à \(60\,\%\) de sa hauteur totale.
Quel est le volume maximum de carburant que ce réservoir peut contenir ?
Quelle quantité de carburant est actuellement contenue dans le réservoir ?
Une voiture consomme environ \(5\,\text{litres}\) de carburant par trajet. Combien de trajets les conducteurs pourraient-ils effectuer avec le volume de carburant actuellement contenu dans le réservoir ?
De combien le volume du réservoir augmenterait-il si son rayon et sa hauteur étaient doublés ?
Réponses succinctes :
\(90\,\pi\,\text{m}³\) (~282,744 m³).
\(54\,\pi\,\text{m}³\) (~169,646 m³).
Environ 33 929 trajets.
Augmentation de \(630\,\pi\,\text{m}³\) (~1979,928 m³).
Nous allons résoudre chaque partie de la question étape par étape.
Étape 1 : Comprendre la forme du réservoir
Le réservoir est de forme cylindrique, caractérisé par un rayon \(r\) et une hauteur \(h\).
Étape 2 : Rappeler la formule du volume d’un cylindre
La formule du volume \(V\) d’un cylindre est donnée par : \[ V = \pi r^2 h \] où : - \(\pi\) est une constante (environ \(3,1416\)), - \(r\) est le rayon du cylindre, - \(h\) est la hauteur du cylindre.
Étape 3 : Identifier les données fournies
Dans cette question : - Rayon \(r = 3\,\text{m}\) - Hauteur \(h = 10\,\text{m}\)
Étape 4 : Calculer le volume maximum
En substituant les valeurs dans la formule : \[ V = \pi (3)^2 \times 10 = \pi \times 9 \times 10 = 90\,\pi\,\text{m}^3 \]
Étape 5 : Donner une valeur approchée
En utilisant \(\pi \approx 3,1416\) : \[ V \approx 90 \times 3,1416 = 282,744\,\text{m}^3 \]
Réponse : Le volume maximum de carburant que le réservoir peut contenir est de \(90\,\pi\,\text{m}^3\), soit environ \(282,744\,\text{m}^3\).
Étape 1 : Comprendre la situation
Le réservoir est rempli à \(60\,\%\) de sa hauteur totale.
Étape 2 : Calculer la hauteur actuelle de carburant
Hauteur totale \(h = 10\,\text{m}\), donc : \[ h_{\text{actuelle}} = 60\,\% \times 10 = 0,6 \times 10 = 6\,\text{m} \]
Étape 3 : Utiliser la formule du volume d’un cylindre avec la hauteur actuelle
\[ V_{\text{actuel}} = \pi r^2 h_{\text{actuelle}} = \pi \times 3^2 \times 6 = \pi \times 9 \times 6 = 54\,\pi\,\text{m}^3 \]
Étape 4 : Donner une valeur approchée
\[ V_{\text{actuel}} \approx 54 \times 3,1416 = 169,6464\,\text{m}^3 \]
Réponse : Actuellement, le réservoir contient \(54\,\pi\,\text{m}^3\) de carburant, soit environ \(169,6464\,\text{m}^3\).
Étape 1 : Convertir le volume actuel en litres
Nous savons que : \[ 1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{litres} \] Donc : \[ V_{\text{actuel}} = 54\,\pi\,\text{m}^3 \approx 54 \times 3,1416 \times 1000 = 169646,4\,\text{litres} \]
Étape 2 : Connaître la consommation par trajet
Chaque trajet consomme \(5\,\text{litres}\).
Étape 3 : Calculer le nombre de trajets possibles
\[ \text{Nombre de trajets} = \frac{V_{\text{actuel en litres}}}{\text{Consommation par trajet}} = \frac{169646,4}{5} \approx 33929,28 \]
Comme on ne peut pas effectuer une fraction de trajet, on arrondit au nombre entier inférieur.
Réponse : Les conducteurs pourraient effectuer environ \(33\,929\) trajets avec le volume de carburant actuellement contenu dans le réservoir.
Étape 1 : Identifier les nouvelles dimensions
Si le rayon \(r\) et la hauteur \(h\) sont doublés : \[ r_{\text{nouveau}} = 2r = 2 \times 3 = 6\,\text{m} \] \[ h_{\text{nouveau}} = 2h = 2 \times 10 = 20\,\text{m} \]
Étape 2 : Calculer le nouveau volume
\[ V_{\text{nouveau}} = \pi r_{\text{nouveau}}^2 h_{\text{nouveau}} = \pi \times 6^2 \times 20 = \pi \times 36 \times 20 = 720\,\pi\,\text{m}^3 \]
Étape 3 : Calculer l’augmentation du volume
Volume initial \(V_{\text{initial}} = 90\,\pi\,\text{m}^3\)
Augmentation : \[ \Delta V = V_{\text{nouveau}} - V_{\text{initial}} = 720\,\pi - 90\,\pi = 630\,\pi\,\text{m}^3 \]
Étape 4 : Donner une valeur approchée
\[ \Delta V \approx 630 \times 3,1416 = 1979,928\,\text{m}^3 \]
Réponse : Le volume du réservoir augmenterait de \(630\,\pi\,\text{m}^3\), soit environ \(1979,928\,\text{m}^3\), si son rayon et sa hauteur étaient doublés.