Calculer, en fonction du rayon \(r\), la différence entre l’aire d’un cube et l’aire de la plus grande sphère contenue dans ce cube (une sphère de rayon \(r\) a une aire de \(4 \pi r^{2}\)).
9.4. Exercices de développement
La différence entre l’aire du cube et celle de la sphère est \(4(6 - \pi)\, r^{2}\).
Pour résoudre cet exercice, nous devons déterminer la différence entre l’aire d’un cube et l’aire de la plus grande sphère qui peut être contenue dans ce cube, en fonction du rayon \(r\) de la sphère. Suivons les étapes ci-dessous pour arriver à la solution.
La plus grande sphère pouvant être contenue dans un cube est une sphère inscrite dans le cube. Cela signifie que la sphère touche toutes les faces du cube.
Diamètre de la sphère : Le diamètre de la sphère inscrite est égal à l’arête du cube.
\[ D = 2r \]
Arête du cube : Notons \(a\) l’arête du cube. Donc,
\[ a = D = 2r \]
Un cube a 6 faces, et chaque face est un carré de côté \(a\). L’aire d’une face est donc \(a^2\). L’aire totale du cube \(A_{\text{cube}}\) est donc :
\[ A_{\text{cube}} = 6 \times a^2 \]
En remplaçant \(a\) par \(2r\) :
\[ A_{\text{cube}} = 6 \times (2r)^2 = 6 \times 4r^2 = 24r^2 \]
L’aire d’une sphère de rayon \(r\) est donnée par :
\[ A_{\text{sphère}} = 4\pi r^2 \]
Nous cherchons la différence entre l’aire du cube et l’aire de la sphère :
\[ \Delta A = A_{\text{cube}} - A_{\text{sphère}} = 24r^2 - 4\pi r^2 \]
Factorisons \(r^2\) dans l’expression :
\[ \Delta A = (24 - 4\pi) r^2 \]
On peut également simplifier davantage en factorisant par 4 :
\[ \Delta A = 4(6 - \pi) r^2 \]
La différence entre l’aire du cube et l’aire de la plus grande sphère contenue dans ce cube, en fonction du rayon \(r\), est donnée par :
\[ \boxed{4(6 - \pi)\, r^{2}} \]
Cette expression montre que la différence dépend directement du carré du rayon de la sphère et met en évidence la contribution des constantes numériques \(6\) et \(\pi\) dans le calcul.