La hauteur d’un cône est égale au diamètre \(d\) de sa base. Exprimez son volume en fonction de \(d\).
Réponse : le volume du cône en fonction du diamètre d est V(d) = (π × d³) / 12.
Nous savons que le volume V d’un cône se calcule avec la formule suivante :
V = (1/3) × (aire de la base) × (hauteur).
Pour un cône, la base est un cercle. L’aire d’un cercle est donnée par :
Aire = π × (rayon)².
Dans cet exercice, la hauteur h du cône est égale au diamètre d de la base. Pour utiliser la formule de l’aire, il faut exprimer le rayon en fonction du diamètre. Le rayon r d’un cercle est la moitié du diamètre, donc :
r = d/2.
Maintenant, nous pouvons exprimer l’aire de la base en fonction de d :
Aire = π × (d/2)² = π × d²/4.
Ensuite, nous remplaçons l’aire de la base et la hauteur dans la formule du volume. La hauteur h étant égale à d, nous avons :
V = (1/3) × (π × d²/4) × d.
Nous multiplions ensuite les termes :
V = (π × d² × d) / (3 × 4) = (π × d³) / 12.
Ainsi, le volume du cône en fonction du diamètre d est :
V(d) = (π × d³) / 12.
Cette démarche permet de passer de la formule générale du volume d’un cône à une expression qui ne dépend que du diamètre de sa base, en utilisant les relations entre rayon, diamètre et hauteur.