La base d’un prisme droit est un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 30 cm et 40 cm. Son volume est de \(105\, \mathrm{cm}^{3}\). Calculer l’aire totale de ce prisme.
L’aire totale du prisme est de 1221 cm².
On vous donne un prisme droit dont la base est un triangle rectangle ayant pour côtés perpendiculaires 30 cm et 40 cm et dont le volume est de 105 cm³. Il faut déterminer l’aire totale de ce prisme (c’est-à-dire la somme de l’aire des deux bases et de l’aire de la surface latérale).
———— Étape 1 : Calcul de l’aire de la base ————
La base est un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 30 cm et 40 cm. L’aire (A) d’un triangle rectangle se calcule par la formule :
A = (1/2) × (longueur 1) × (longueur 2)
Ici : A = (1/2) × 30 × 40 = (1/2) × 1200 = 600 cm²
———— Étape 2 : Détermination de la hauteur du prisme ————
Le volume (V) d’un prisme droit se calcule à l’aide de la formule :
V = (aire de la base) × (hauteur du prisme)
On connaît V = 105 cm³ et l’aire de la base = 600 cm². Pour trouver la hauteur (h) du prisme, on résout :
h = V / (aire de la base) = 105 / 600
Simplifions cette fraction :
105 / 600 = 0,175 cm
———— Étape 3 : Calcul de l’aire de la surface latérale ————
Le prisme a trois faces latérales qui correspondent chacune à un côté du triangle de la base. L’aire d’une face latérale est obtenue en multipliant la longueur du côté par la hauteur du prisme. Ainsi, l’aire totale des faces latérales est donnée par :
A_latérale = (périmètre du triangle de la base) × (hauteur du prisme)
Commençons par calculer le périmètre du triangle de la base. On connaît deux côtés : 30 cm et 40 cm. Le troisième côté est l’hypoténuse que l’on calcule avec le théorème de Pythagore :
hypoténuse² = 30² + 40² = 900 + 1600 = 2500
hypoténuse = √2500 = 50 cm
Le périmètre (P) est donc :
P = 30 + 40 + 50 = 120 cm
Maintenant, l’aire de la surface latérale est :
A_latérale = 120 × 0,175 = 21 cm²
———— Étape 4 : Calcul de l’aire totale du prisme ————
L’aire totale (S_total) du prisme se compose de l’aire des deux bases et de l’aire de la surface latérale. Ainsi :
S_total = 2 × (aire de la base) + A_latérale S_total = 2 × 600 + 21 = 1200 + 21 = 1221 cm²
———— Conclusion ————
L’aire totale de ce prisme droit est de 1221 cm².