Exercice 37

Question :

1. Lors d’une exposition scientifique, il est nécessaire de gonfler 800 sphères gonflables de diamètre de \(35\ \text{cm}\).

Quel est le volume total de ces sphères ?

2. Quel serait le volume d’une seule sphère de diamètre de \(3,5\ \text{m}\) ?

Réponse

Résumé de la correction :

1. Le volume total des 800 sphères est de 17 920 000 cm³.

2. Le volume d’une seule sphère de diamètre 3,5 m est d’environ 22,45 m³.

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Question a)

Énoncé :

Lors d’une exposition scientifique, il est nécessaire de gonfler 800 sphères gonflables de diamètre de \(35\ \text{cm}\).

Question :

Quel est le volume total de ces sphères ?

Correction :

Pour déterminer le volume total des 800 sphères, nous allons suivre ces étapes :

1. Calculer le volume d’une seule sphère.
2. Multiplier ce volume par le nombre total de sphères (800).

Étape 1 : Calcul du volume d’une seule sphère

La formule du volume \(V\) d’une sphère est donnée par :

\[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \]

où \(r\) est le rayon de la sphère.

On nous donne le diamètre de la sphère, qui est \(35\ \text{cm}\). Le rayon \(r\) est la moitié du diamètre :

\[ r = \frac{35\ \text{cm}}{2} = 17,5\ \text{cm} \]

Ainsi, le volume d’une seule sphère est :

\[ V = \frac{4}{3} \pi (17,5\ \text{cm})^3 \]

Calculons cette valeur :

\[ V = \frac{4}{3} \times \pi \times (17,5)^3 \approx \frac{4}{3} \times 3,1416 \times 5359,375\ \text{cm}^3 \approx 22400\ \text{cm}^3 \]

Étape 2 : Calcul du volume total pour 800 sphères

Maintenant, multiplions le volume d’une sphère par le nombre total de sphères :

\[ V_{\text{total}} = 800 \times 22400\ \text{cm}^3 = 17\,920\,000\ \text{cm}^3 \]

Ainsi, le volume total des 800 sphères est de \(17\,920\,000\ \text{cm}^3\).

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Question b)

Énoncé :

Quel serait le volume d’une seule sphère de diamètre de \(3,5\ \text{m}\) ?

Correction :

Nous allons utiliser la même formule pour calculer le volume d’une sphère :

\[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \]

Cette fois-ci, le diamètre est donné en mètres, soit \(3,5\ \text{m}\). Calculons d’abord le rayon :

\[ r = \frac{3,5\ \text{m}}{2} = 1,75\ \text{m} \]

Ainsi, le volume de la sphère est :

\[ V = \frac{4}{3} \pi (1,75\ \text{m})^3 \]

Calculons cette valeur :

\[ V = \frac{4}{3} \times \pi \times (1,75)^3 \approx \frac{4}{3} \times 3,1416 \times 5,3594\ \text{m}^3 \approx 22,45\ \text{m}^3 \]

Donc, le volume d’une seule sphère de diamètre \(3,5\ \text{m}\) est d’environ \(22,45\ \text{m}^3\).

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