Exercice 36

Question : Un réservoir d’eau est de forme cylindrique. Le volume de ce réservoir est de \(500\,\text{dm}^3\) et son diamètre est de \(10\,\text{dm}\).

1. Calcule la hauteur du réservoir.

2. Quelle est la masse d’eau contenue dans le réservoir si la masse volumique de l’eau est de \(1,0\,\text{kg}/\text{dm}^3\) ?

Réponse

Hauteur du réservoir : h = 20/π dm (≈ 6,37 dm)
Masse d’eau : 500 kg.

Corrigé détaillé

Nous avons un réservoir cylindrique dont le volume est donné par la formule :

  Volume = π × (rayon)² × hauteur

On vous donne :   - Volume V = 500 dm³   - Diamètre = 10 dm

La résolution de l’exercice se fait en deux parties.

───────────────────────────── 1) Calcul de la hauteur du réservoir

1. On commence par déterminer le rayon du cylindre. Le rayon est la moitié du diamètre.

  Rayon r = Diamètre / 2 = 10 dm / 2 = 5 dm

2. On connaît la formule du volume d’un cylindre :

  V = π × r² × h

Pour trouver la hauteur h, on réécrit cette formule :

  h = V / (π × r²)

3. Remplaçons par les valeurs connues :

  h = 500 dm³ / (π × (5 dm)²)

  On calcule (5 dm)² = 25 dm², donc :

  h = 500 / (25π)

  Simplifions en divisant 500 par 25 :

  500 ÷ 25 = 20

  Ainsi, h = 20/π dm

4. On peut approximativement calculer la hauteur en utilisant π ≈ 3,14 :

  h ≈ 20 / 3,14 ≈ 6,37 dm

───────────────────────────── 2) Calcul de la masse d’eau dans le réservoir

On nous donne la masse volumique de l’eau :

  ρ = 1,0 kg/dm³

Le calcul de la masse (m) se fait à partir du volume et de la masse volumique par la formule :

  m = ρ × V

En remplaçant :

  m = 1,0 kg/dm³ × 500 dm³ = 500 kg

───────────────────────────── Conclusion

1. La hauteur du réservoir est h = 20/π dm, ce qui est environ 6,37 dm.

2. La masse d’eau contenue dans le réservoir est de 500 kg.

Cette démarche pas à pas permet de trouver les dimensions et la masse correspondante à partir des informations du problème.