Exercice 33

Question : Complétez les dimensions des quatre cylindres suivants en remplissant les cases vides dans le tableau ci-dessous.

Rayon (cm)	Hauteur (cm)	Aire latérale (cm²)	Aire totale (cm²)
6	10
9	9
4		100,48
	8	402,12

Réponse

Les dimensions complétées des cylindres sont :

1. Rayon : 6 cm, Hauteur : 10 cm, Aire latérale : 376,8 cm², Aire totale : 603,84 cm²
2. Rayon : 9 cm, Hauteur : 9 cm, Aire latérale : 508,68 cm², Aire totale : 1017,36 cm²
3. Rayon : 4 cm, Hauteur : 4 cm, Aire latérale : 100,48 cm², Aire totale : 201,06 cm²
4. Rayon : 8 cm, Hauteur : 8 cm, Aire latérale : 402,12 cm², Aire totale : 804,24 cm²

Corrigé détaillé

Correction détaillée

Pour compléter les dimensions des quatre cylindres, nous allons utiliser les formules suivantes :

• Aire latérale (A\(_{\text{lat}}\)) : \(A_{\text{lat}} = 2\pi r h\)
• Aire totale (A\(_{\text{tot}}\)) : \(A_{\text{tot}} = 2\pi r (r + h)\)

Où : - \(r\) est le rayon du cylindre en centimètres (cm). - \(h\) est la hauteur du cylindre en centimètres (cm). - \(\pi\) est approximativement égal à 3,14.

Nous allons compléter le tableau en calculant les valeurs manquantes étape par étape.

1. Premier Cylindre

Rayon (cm)	Hauteur (cm)	Aire latérale (cm²)	Aire totale (cm²)
6	10

Calcul de l’Aire Latérale

\[ A_{\text{lat}} = 2\pi r h = 2 \times 3,14 \times 6 \times 10 = 2 \times 3,14 \times 60 = 376,8 \, \text{cm}² \]

Calcul de l’Aire Totale

\[ A_{\text{tot}} = 2\pi r (r + h) = 2 \times 3,14 \times 6 \times (6 + 10) = 2 \times 3,14 \times 6 \times 16 = 603,84 \, \text{cm}² \]

Tableau Complété

Rayon (cm)	Hauteur (cm)	Aire latérale (cm²)	Aire totale (cm²)
6	10	376,8	603,84

2. Deuxième Cylindre

Rayon (cm)	Hauteur (cm)	Aire latérale (cm²)	Aire totale (cm²)
9	9

Calcul de l’Aire Latérale

\[ A_{\text{lat}} = 2\pi r h = 2 \times 3,14 \times 9 \times 9 = 2 \times 3,14 \times 81 = 508,68 \, \text{cm}² \]

Calcul de l’Aire Totale

\[ A_{\text{tot}} = 2\pi r (r + h) = 2 \times 3,14 \times 9 \times (9 + 9) = 2 \times 3,14 \times 9 \times 18 = 1017,36 \, \text{cm}² \]

Tableau Complété

Rayon (cm)	Hauteur (cm)	Aire latérale (cm²)	Aire totale (cm²)
9	9	508,68	1017,36

3. Troisième Cylindre

Rayon (cm)	Hauteur (cm)	Aire latérale (cm²)	Aire totale (cm²)
4		100,48

Trouver la Hauteur

Nous connaissons l’aire latérale et le rayon. Nous utilisons la formule de l’aire latérale pour trouver la hauteur \(h\).

\[ A_{\text{lat}} = 2\pi r h \] \[ 100,48 = 2 \times 3,14 \times 4 \times h \] \[ 100,48 = 25,12 \times h \] \[ h = \frac{100,48}{25,12} \] \[ h \approx 4 \, \text{cm} \]

Calcul de l’Aire Totale

\[ A_{\text{tot}} = 2\pi r (r + h) = 2 \times 3,14 \times 4 \times (4 + 4) = 2 \times 3,14 \times 4 \times 8 = 201,06 \, \text{cm}² \]

Tableau Complété

Rayon (cm)	Hauteur (cm)	Aire latérale (cm²)	Aire totale (cm²)
4	4	100,48	201,06

4. Quatrième Cylindre

Rayon (cm)	Hauteur (cm)	Aire latérale (cm²)	Aire totale (cm²)
	8	402,12

Trouver le Rayon

Nous connaissons l’aire latérale et la hauteur. Nous utilisons la formule de l’aire latérale pour trouver le rayon \(r\).

\[ A_{\text{lat}} = 2\pi r h \] \[ 402,12 = 2 \times 3,14 \times r \times 8 \] \[ 402,12 = 50,24 \times r \] \[ r = \frac{402,12}{50,24} \] \[ r \approx 8 \, \text{cm} \]

Calcul de l’Aire Totale

\[ A_{\text{tot}} = 2\pi r (r + h) = 2 \times 3,14 \times 8 \times (8 + 8) = 2 \times 3,14 \times 8 \times 16 = 804,24 \, \text{cm}² \]

Tableau Complété

Rayon (cm)	Hauteur (cm)	Aire latérale (cm²)	Aire totale (cm²)
8	8	402,12	804,24

Tableau Final Complété

Rayon (cm)	Hauteur (cm)	Aire latérale (cm²)	Aire totale (cm²)
6	10	376,8	603,84
9	9	508,68	1017,36
4	4	100,48	201,06
8	8	402,12	804,24

Ainsi, toutes les dimensions des cylindres ont été complétées en utilisant les formules appropriées et des calculs détaillés.