Question : Une pyramide régulière de base carrée de côté \(a\) et de hauteur \(h\) repose sur un prisme rectangulaire de même base et de hauteur égale à \(3a\).
Que doit valoir \(h\), en fonction de \(a\), pour que :
Le volume de la pyramide soit égal à celui du prisme ?
Le volume de la pyramide soit le double de celui du prisme ?
Le volume de la pyramide soit la moitié de celui du prisme ?
Résumé des résultats
\(h = 9a\)
\(h = 18a\)
\(h = 4{,}5a\)
Analysons chaque partie de l’exercice étape par étape.
Volume de la pyramide régulière :
La formule du volume d’une pyramide à base carrée est : \[ V_{\text{pyramide}} = \frac{1}{3} \times (\text{aire de la base}) \times \text{hauteur} = \frac{1}{3} \times a^2 \times h \]
Volume du prisme rectangulaire :
La formule du volume d’un prisme à base carrée est : \[ V_{\text{prisme}} = (\text{aire de la base}) \times \text{hauteur} = a^2 \times 3a = 3a^3 \]
Nous avons : \[ V_{\text{pyramide}} = V_{\text{prisme}} \] Substituons les formules : \[ \frac{1}{3} a^2 h = 3a^3 \] Pour trouver \(h\), isolons-le : \[ h = \frac{3a^3 \times 3}{a^2} = \frac{9a^3}{a^2} = 9a \] Donc, la hauteur \(h\) doit être égale à \(9a\).
Nous avons : \[ V_{\text{pyramide}} = 2 \times V_{\text{prisme}} \] Substituons les formules : \[ \frac{1}{3} a^2 h = 2 \times 3a^3 \] Simplifions : \[ \frac{1}{3} a^2 h = 6a^3 \] Isolons \(h\) : \[ h = \frac{6a^3 \times 3}{a^2} = \frac{18a^3}{a^2} = 18a \] Donc, la hauteur \(h\) doit être égale à \(18a\).
Nous avons : \[ V_{\text{pyramide}} = \frac{1}{2} \times V_{\text{prisme}} \] Substituons les formules : \[ \frac{1}{3} a^2 h = \frac{1}{2} \times 3a^3 \] Simplifions : \[ \frac{1}{3} a^2 h = \frac{3a^3}{2} \] Isolons \(h\) : \[ h = \frac{\frac{3a^3}{2} \times 3}{a^2} = \frac{9a^3}{2a^2} = \frac{9a}{2} \] Donc, la hauteur \(h\) doit être égale à \(\frac{9}{2}a\) ou \(4,5a\).
\(h = 9a\)
\(h = 18a\)
\(h = \frac{9}{2}a\)