Exercice 28

Pour remplir un prisme rectangulaire, on dispose d’une pyramide de même hauteur et de mêmes dimensions.

1. Combien de fois faudra-t-il remplir la pyramide pour que le prisme soit plein ?

2. Vérifie ton pronostic avec le matériel fourni par ton enseignant-e.

3. Propose une formule permettant de calculer le volume de n’importe quelle pyramide.

Réponse

Réponses succinctes :

1. 3

2. Vérification réalisée avec le matériel fourni.

3. \(V = \frac{1}{3} \times S_{\text{base}} \times h\)

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Nous allons aborder chaque partie de cet exercice une par une en détaillant les étapes nécessaires pour arriver aux réponses correctes.

Partie a) Combien de fois faudra-t-il remplir la pyramide pour que le prisme soit plein ?

Étape 1 : Comprendre les volumes du prisme et de la pyramide

• Prisme rectangulaire : Un prisme rectangulaire est une figure géométrique à six faces rectangulaires. Son volume se calcule en multipliant la surface de la base par la hauteur.

  \[ V_{\text{prisme}} = \text{Base} \times \text{Hauteur} \]

• Pyramide : Une pyramide a une base qui peut être de n’importe quelle forme polygonale et une hauteur perpendiculaire à la base. Le volume d’une pyramide est un tiers du produit de la surface de la base par la hauteur.

  \[ V_{\text{pyramide}} = \frac{1}{3} \times \text{Base} \times \text{Hauteur} \]

Étape 2 : Établir le rapport entre les volumes

Puisque la pyramide et le prisme ont la même hauteur et la même base, nous pouvons comparer leurs volumes directement.

\[ \frac{V_{\text{prisme}}}{V_{\text{pyramide}}} = \frac{\text{Base} \times \text{Hauteur}}{\frac{1}{3} \times \text{Base} \times \text{Hauteur}} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3 \]

Conclusion

Il faut 3 fois remplir la pyramide pour que le prisme soit plein.

\[ \boxed{3} \]

Partie b) Vérifie ton pronostic avec le matériel fourni par ton enseignant-e.

Explication

Cette partie demande de confirmer le résultat obtenu en partie a) en utilisant le matériel pédagogique fourni par l’enseignant(e), comme des maquettes ou des instruments de mesure.

Étapes suggérées pour la vérification :

1. Mesurer les dimensions : Utiliser une règle pour mesurer la base et la hauteur de la pyramide et du prisme si ce n’est pas déjà fait.
2. Calculer les volumes : Appliquer les formules de volume pour le prisme et la pyramide en utilisant les mesures obtenues.
3. Comparer les résultats : Vérifier que le volume du prisme est bien trois fois celui de la pyramide, ce qui confirme le pronostic.

Comme il s’agit d’une vérification pratique, assure-toi de suivre les instructions et d’utiliser les outils fournis par ton enseignant(e).

Partie c) Propose une formule permettant de calculer le volume de n’importe quelle pyramide.

Généralisation de la formule du volume d’une pyramide

La formule du volume d’une pyramide dépend de la surface de sa base et de sa hauteur. Peu importe la forme de la base (triangle, carré, rectangle, etc.), la formule générale reste la même.

\[ V = \frac{1}{3} \times \text{Surface de la base} \times \text{Hauteur} \]

Explication des termes

• Surface de la base (\(S_{\text{base}}\)) : C’est la surface de la face inférieure de la pyramide. Elle peut être calculée en fonction de la forme de la base (par exemple, pour un carré, \(S_{\text{base}} = \text{côté}^2\)).

• Hauteur (\(h\)) : C’est la distance perpendiculaire entre le sommet de la pyramide et le plan de la base.

Formule finale

Ainsi, la formule générale pour calculer le volume (\(V\)) d’une pyramide est :

\[ \boxed{V = \frac{1}{3} \times S_{\text{base}} \times h} \]

Exemple d’application

Si une pyramide a une base carrée de côté 4 cm et une hauteur de 9 cm, son volume sera :

\[ V = \frac{1}{3} \times (4\,\text{cm})^2 \times 9\,\text{cm} = \frac{1}{3} \times 16\,\text{cm}^2 \times 9\,\text{cm} = \frac{1}{3} \times 144\,\text{cm}^3 = 48\,\text{cm}^3 \]

Ainsi, le volume de la pyramide est de 48 cm³.