Exercice 27

Question : Une pyramide à base carrée \(PABCD\) est coupée par un plan parallèle à sa base. Les mesures suivantes sont données : \[ EF = 12\ \text{cm}, \quad AB = 8\ \text{cm}, \quad GH = 3\ \text{cm}. \] Déterminez le volume de la partie inférieure de la pyramide.

Réponse

Le volume de la partie inférieure de la pyramide \(PABCD\) est de 252 cm³.

Corrigé détaillé

Pour déterminer le volume de la partie inférieure de la pyramide \(PABCD\) après qu’elle ait été coupée par un plan parallèle à sa base, nous allons suivre les étapes suivantes :

Données du problème

• Longueur de l’arête de la base \(AB = 8\ \text{cm}\).
• Hauteur totale de la pyramide \(EF = 12\ \text{cm}\).
• Hauteur de la partie supérieure (petite pyramide) \(GH = 3\ \text{cm}\).

Étapes de la résolution

1. Comprendre la découpe de la pyramide

Lorsque la pyramide est coupée par un plan parallèle à sa base, elle se divise en deux parties :

• Une petite pyramide en haut.
• Un “tronçon de pyramide” (ou frustum) en bas, qui est la partie inférieure de la pyramide initiale.

2. Déterminer la hauteur de la partie inférieure

La hauteur totale de la pyramide est de \(12\ \text{cm}\). La hauteur de la petite pyramide en haut est de \(3\ \text{cm}\).

Ainsi, la hauteur de la partie inférieure (frustum) est : \[ \text{Hauteur du frustum} = \text{Hauteur totale} - \text{Hauteur de la petite pyramide} = 12\ \text{cm} - 3\ \text{cm} = 9\ \text{cm} \]

3. Calculer le volume de la pyramide initiale

La formule du volume \(V\) d’une pyramide à base carrée est : \[ V = \frac{1}{3} \times \text{Aire de la base} \times \text{Hauteur} \]

Calculons l’aire de la base : \[ \text{Aire de la base} = AB^2 = (8\ \text{cm})^2 = 64\ \text{cm}^2 \]

Ainsi, le volume de la pyramide initiale est : \[ V_{\text{total}} = \frac{1}{3} \times 64\ \text{cm}^2 \times 12\ \text{cm} = \frac{1}{3} \times 768\ \text{cm}^3 = 256\ \text{cm}^3 \]

4. Utiliser le rapport des hauteurs pour déterminer le volume de la petite pyramide

Les pyramides similaires ont des volumes proportionnels au cube du rapport de leurs hauteurs.

Le rapport des hauteurs est : \[ \frac{\text{Hauteur de la petite pyramide}}{\text{Hauteur totale}} = \frac{3\ \text{cm}}{12\ \text{cm}} = \frac{1}{4} \]

Ainsi, le volume de la petite pyramide est : \[ V_{\text{petite pyramide}} = V_{\text{total}} \times \left( \frac{1}{4} \right)^3 = 256\ \text{cm}^3 \times \frac{1}{64} = 4\ \text{cm}^3 \]

5. Déterminer le volume de la partie inférieure (frustum)

Le volume de la partie inférieure est la différence entre le volume total de la pyramide et le volume de la petite pyramide : \[ V_{\text{frustum}} = V_{\text{total}} - V_{\text{petite pyramide}} = 256\ \text{cm}^3 - 4\ \text{cm}^3 = 252\ \text{cm}^3 \]

Conclusion

Le volume de la partie inférieure de la pyramide \(PABCD\) est de 252 cm³.