Question :
Calculez le volume d’une pyramide à base rectangulaire dont les sommets sont également ceux d’un pavé droit.
Calculez son aire totale.
Soit un pavé droit dont les dimensions sont notées a, b et c. On considère la pyramide dont la base est le rectangle ABCD (de côtés a et b) et dont le sommet est le point S, choisi comme le sommet opposé à la base, c’est‑à‑dire S(a, b, c). Les cinq points A, B, C, D et S sont alors des sommets du pavé.
Nous allons déterminer :
a) le volume de la pyramide, b) son aire totale (somme de l’aire de la base et des aires des faces latérales).
────────────────────────────── 1 – Calcul du volume
Le volume V d’une pyramide se calcule grâce à la formule :
V = (1/3) × (aire de la base) × (hauteur).
Ici, la base est le rectangle de côtés a et b, d’aire : A_base = a × b.
La hauteur de la pyramide est la distance perpendiculaire entre le plan de la base (le plan z = 0) et le sommet S. Or S possède l’altitude c, donc la hauteur h = c.
Ainsi, le volume est : V = (1/3) × (a × b) × c = (a × b × c) / 3.
────────────────────────────── 2 – Calcul de l’aire totale
L’aire totale A_total de la pyramide est la somme de l’aire de la base et des aires des quatre faces triangulaires.
Aire de la base
Comme on l’a vu, la base est un rectangle d’aire : A_base = a ×
b.
Aires des faces latérales
Nous allons déterminer l’aire de chacune des quatre faces
triangulaires.
Pour cela, il est commode de positionner les points dans un repère : Point A = (0, 0, 0) Point B = (a, 0, 0) Point C = (a, b, 0) Point D = (0, b, 0) Sommet S = (a, b, c)
Les faces latérales sont :
────────────────────────────── Face 1 : triangle ABS
Les sommets sont A(0,0,0), B(a,0,0) et S(a,b,c).
Pour calculer l’aire d’un triangle défini par deux vecteurs, on utilise la formule : A_triangle = ½ × ||u × v||, où u et v sont deux vecteurs issus d’un même sommet.
Choisissons le sommet A et posons : AB = B – A = (a, 0, 0) AS = S – A = (a, b, c).
Le produit vectoriel AB × AS se calcule : AB × AS = (a, 0, 0) × (a, b, c).
En développant avec la règle du déterminant : i : (0 × c – 0 × b) = 0, j : –[a × c – 0 × a] = –a·c, k : (a × b – 0 × a) = a·b.
Ainsi, AB × AS = (0, –a·c, a·b).
La norme de ce vecteur est : ||AB × AS|| = √[(0)² + (–a·c)² + (a·b)²] = a × √(c² + b²).
L’aire du triangle ABS est donc : A₁ = ½ × a √(b² + c²).
────────────────────────────── Face 2 : triangle BCS
Les points sont B(a,0,0), C(a,b,0) et S(a,b,c).
Ici, toutes les abscisses sont égales à a, ce qui signifie que le
triangle est contenu dans un plan vertical.
On note : BC = C – B = (0, b, 0), de longueur b, CS = S – C = (0, 0,
c), de longueur c.
Comme les côtés BC et CS sont perpendiculaires (leurs directions sont
respectivement selon y et z), le triangle BCS est rectangle en C.
Son aire est : A₂ = ½ × b × c.
────────────────────────────── Face 3 : triangle CDS
Les points sont C(a,b,0), D(0,b,0) et S(a,b,c).
Les points C et D diffèrent uniquement en x : CD = D – C = (–a, 0,
0), de longueur a. De plus,
CS = S – C = (0, 0, c), de longueur c.
Les vecteurs CD et CS sont perpendiculaires (car l’un est selon x et
l’autre selon z).
L’aire est ainsi : A₃ = ½ × a × c.
────────────────────────────── Face 4 : triangle DAS
Les points sont D(0,b,0), A(0,0,0) et S(a,b,c).
Choisissons le sommet D et considérons : DA = A – D = (0, –b, 0), DS = S – D = (a, 0, c).
Calculons le produit vectoriel DA × DS :
DA = (0, –b, 0) DS = (a, 0, c)
Le produit vectoriel est : DA × DS = ( (-b)×c – (0×0), –[0×c – (0×a)], 0×0 – (–b×a) ) = ( –b·c, 0, a·b ).
Sa norme est : ||DA × DS|| = √[(–b·c)² + 0² + (a·b)²] = b × √(c² + a²).
Donc, l’aire du triangle DAS est : A₄ = ½ × b √(a² + c²).
────────────────────────────── Somme des aires latérales
On additionne les aires des 4 faces : A_lat = A₁ + A₂ + A₃ + A₄ = ½ [a √(b² + c²)] + ½ (b c) + ½ (a c) + ½ [b √(a² + c²)] = ½ { a √(b² + c²) + b√(a²+c²) + a c + b c }.
────────────────────────────── Aire totale de la pyramide
En ajoutant l’aire de la base, on obtient : A_total = A_base + A_lat = a·b + ½ { a √(b² + c²) + b √(a² + c²) + a c + b c }.
────────────────────────────── Conclusion
Le volume de la pyramide est : V = (a × b × c) / 3.
Son aire totale est : A_total = a·b + ½ [ a √(b² + c²) + b √(a² + c²) + a c + b c ].
Cette correction détaillée montre toutes les étapes du raisonnement afin que vous puissiez comprendre comment se calcule le volume et l’aire totale d’une pyramide inscrite dans un pavé droit.