Question : Dans un jardin, une couche de sable de 10 cm d’épaisseur est étendue sur une bande de 2 m de largeur autour d’un parterre circulaire de 6 m de diamètre.
Quelle est le volume de sable nécessaire ?
Le volume de sable nécessaire est d’environ 5,02 mètres cubes.
Correction détaillée :
Pour déterminer le volume de sable nécessaire, suivons les étapes suivantes.
Nous avons un parterre circulaire entouré d’une bande de sable de 2 mètres de largeur. L’épaisseur de cette couche de sable est de 10 centimètres. Nous devons calculer le volume total de sable utilisé.
Il est préférable d’utiliser les mêmes unités pour tous les calculs. Convertissons les centimètres en mètres.
\[ 10\ \text{cm} = 0{,}10\ \text{m} \]
Parterre intérieur :
Le diamètre du parterre est de 6 mètres. Le rayon (\(r_{\text{intérieur}}\)) est la moitié du diamètre.
\[ r_{\text{intérieur}} = \frac{6}{2} = 3\ \text{m} \]
Parterre total avec la bande de sable :
La bande de sable a une largeur de 2 mètres. Le rayon extérieur (\(r_{\text{extérieur}}\)) est donc :
\[ r_{\text{extérieur}} = r_{\text{intérieur}} + 2 = 3 + 2 = 5\ \text{m} \]
Aire du parterre intérieur (\(A_{\text{intérieur}}\)) :
\[ A_{\text{intérieur}} = \pi \times r_{\text{intérieur}}^2 = \pi \times 3^2 = 9\,\pi\ \text{m}^2 \]
Aire du parterre total (\(A_{\text{extérieur}}\)) :
\[ A_{\text{extérieur}} = \pi \times r_{\text{extérieur}}^2 = \pi \times 5^2 = 25\,\pi\ \text{m}^2 \]
L’aire de la bande de sable (\(A_{\text{sable}}\)) est la différence entre l’aire totale et l’aire intérieure.
\[ A_{\text{sable}} = A_{\text{extérieur}} - A_{\text{intérieur}} = 25\,\pi - 9\,\pi = 16\,\pi\ \text{m}^2 \]
Le volume (\(V\)) est obtenu en multipliant l’aire de la bande de sable par son épaisseur.
\[ V = A_{\text{sable}} \times \text{épaisseur} = 16\,\pi \times 0{,}10 = 1{,}6\,\pi\ \text{m}^3 \]
En utilisant \(\pi \approx 3{,}14\) :
\[ V \approx 1{,}6 \times 3{,}14 \approx 5{,}02\ \text{m}^3 \]
Réponse :
Le volume de sable nécessaire est d’environ 5,02 mètres cubes.