Question: Pour empiler 120 CD (10 cm de diamètre et \(1 \, \mathrm{mm}\) d’épaisseur), une boîte cylindrique de \(1500 \, \mathrm{cm}^{3}\) de volume suffit-elle ?
Oui, une boîte cylindrique de 1500 cm³ peut contenir 120 CD, puisque le volume nécessaire est environ 942,48 cm³.
Pour déterminer si une boîte cylindrique de \(1500 \, \mathrm{cm}^{3}\) de volume suffit à empiler 120 CD, nous allons suivre les étapes suivantes :
Chaque CD a un diamètre de \(10 \, \mathrm{cm}\) et une épaisseur de \(1 \, \mathrm{mm}\).
Calcul du rayon :
Le rayon \(r\) est la moitié du diamètre.
\[ r = \frac{10 \, \mathrm{cm}}{2} = 5 \, \mathrm{cm} \]
Calcul de l’aire d’un CD :
L’aire \(A\) du cercle est donnée par la formule :
\[ A = \pi r^{2} = \pi \times (5 \, \mathrm{cm})^{2} = 25\pi \, \mathrm{cm}^{2} \]
Calcul du volume d’un CD :
Le volume \(V\) d’un CD est l’aire multipliée par l’épaisseur \(h\).
\[ V = A \times h = 25\pi \, \mathrm{cm}^{2} \times 0,1 \, \mathrm{cm} = 2,5\pi \, \mathrm{cm}^{3} \]
Approximativement :
\[ V \approx 2,5 \times 3,1416 \, \mathrm{cm}^{3} \approx 7,854 \, \mathrm{cm}^{3} \]
Pour trouver le volume total \(V_{\text{total}}\) nécessaire pour empiler 120 CD, multiplions le volume d’un seul CD par 120.
\[ V_{\text{total}} = 120 \times 2,5\pi \, \mathrm{cm}^{3} = 300\pi \, \mathrm{cm}^{3} \]
Approximativement :
\[ V_{\text{total}} \approx 300 \times 3,1416 \, \mathrm{cm}^{3} \approx 942,48 \, \mathrm{cm}^{3} \]
Le volume de la boîte proposée est de \(1500 \, \mathrm{cm}^{3}\).
Comparons les deux volumes :
\[ 942,48 \, \mathrm{cm}^{3} < 1500 \, \mathrm{cm}^{3} \]
Le volume nécessaire pour empiler 120 CD est d’environ \(942,48 \, \mathrm{cm}^{3}\), ce qui est inférieur au volume de la boîte cylindrique proposée (\(1500 \, \mathrm{cm}^{3}\)).
Ainsi, une boîte cylindrique de \(1500 \, \mathrm{cm}^{3}\) de volume suffit pour empiler 120 CD.